p²x²+2px+qy+p²y²=0 সমীকরণটি দ্বারা কি নির্দেশ করে ? 

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: \(p^2x^2 + 2px + qy + p^2y^2 = 0\)

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\).

প্রদত্ত সমীকরণটিকে \(p^2\) দিয়ে ভাগ করে পাই:

\(x^2 + y^2 + \frac{2}{p}x + \frac{q}{p^2}y = 0\)

এখন, এই সমীকরণটিকে বৃত্তের সাধারণ সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই:

\(2g = \frac{2}{p}\) ⇒ \(g = \frac{1}{p}\)

\(2f = \frac{q}{p^2}\) ⇒ \(f = \frac{q}{2p^2}\)

\(c = 0\)

বৃত্ত হওয়ার শর্ত: \(g^2 + f^2 - c > 0\)

এখানে, \((\frac{1}{p})^2 + (\frac{q}{2p^2})^2 - 0 > 0\)

\(\frac{1}{p^2} + \frac{q^2}{4p^4} > 0\)

\(\frac{4p^2 + q^2}{4p^4} > 0\)

যেহেতু \(4p^2 + q^2\) এবং \(4p^4\) উভয়ই ধনাত্মক হবে যদি না \(p = 0\) হয়। যদি \(p = 0\) হয়, তবে প্রদত্ত সমীকরণটি \(qy = 0\) হবে, যা একটি সরলরেখা নির্দেশ করে। সুতরাং, \(p \neq 0\) ।

অতএব, \(p^2x^2+2px+qy+p^2y^2=0\) সমীকরণটি একটি বৃত্ত নির্দেশ করে। 🎉