x^2 - 5x + k = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় ɑ ও β। k এর কোন মানের জন্য সমীকরণটির মূলদ্বয় ??াস্তব ও সমান?
সঠিক উত্তরঃ
B.
k = 25/4
Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(x^2 - 5x + k = 0\) সমীকরণের মূলদ্বয় ɑ ও β। \(k\) এর কোন মানের জন্য সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান?
উত্তর: \(k = \frac{25}{4}\)
সমাধান:
প্রথমে সমীকরণের মূলদ্বয় ɑ ও β এর জন্য, মূল সূত্র হলো:
\[
\text{Sum of roots} \quad ɑ + β = -\frac{b}{a} \quad \text{এবং} \quad \text{Product of roots} \quad ɑβ = \frac{c}{a}
\]
এখানে, \(a = 1\), \(b = -5\), এবং \(c = k\)
তাই,
\[
ɑ + β = -\frac{-5}{1} = 5
\]
\[
ɑβ = \frac{k}{1} = k
\]
মূলদ্বয় সমান হলে, অর্থাৎ, ɑ = β। তখন,
\[
ɑ = β
\]
এবং,
\[
ɑ + ɑ = 5 \implies 2ɑ = 5 \implies ɑ = \frac{5}{2}
\]
তাহলে, মূলের পণ্য হবে:
\[
ɑβ = ɑ \times ɑ = ɑ^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}
\]
এখন,
\[
k = ɑβ = \frac{25}{4}
\]
অতএব, যখন মূলদ্বয় সমান, তখন \(k = \frac{25}{4}\)। এই মানের জন্য সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
উত্তর: \(\boxed{\frac{25}{4}}\)