একটি সভা শেষে সভাপতি ব্যতীত প্রত্যকে প্রত্যকের সাথে করমর্দন করলে করমর্দনের সংখ্যা 21 টি হলে কতজন সভায় উপস্তিত ছিলেন?

ধরা যাক, সভায় মোট সদস্য সংখ্যা হলো \( n \)।

সভায় সভাপতিকে বাদ দিয়ে বাকি সদস্যরা সবাই ব্যক্তিগতভাবে একে অপরের সাথে করমর্দন করেছে।

প্রতিটি করমর্দন একটি অনন্য দম্পতির মধ্যে হয়।

সুতরাং, করমর্দনের মোট সংখ্যা হবে:

\[ \binom{n-1}{2} = 21 \]

এখানে, \( n-1 \) হলো সভাপতির বাইরে সদস্য সংখ্যা।

সমীকরণ থেকে:

\[ \frac{(n-1)(n-2)}{2} = 21 \]

গুণফল সমাধান করি:

\[ (n-1)(n-2) = 42 \]

বিস্তৃত করি:

\[ n^2 - 3n + 2 = 42 \]

সমীকরণ সরল করি:

\[ n^2 - 3n + 2 - 42 = 0 \]

অথবা:

\[ n^2 - 3n - 40 = 0 \]

আসুন এই দ্বিতীয় ডিগ্রী সমীকরণের মূলগুলো বের করি:

মূল সূত্র থেকে:

\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-40)}}{2 \times 1} \]

\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 160}}{2} \]

\[ n = \frac{3 \pm \sqrt{169}}{2} \]

\[ n = \frac{3 \pm 13}{2} \]

অতএব, দুটি সমাধান পাওয়া যায়:

\[ n = \frac{3 + 13}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]

অথবা:

\[ n = \frac{3 - 13}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] (অবৈধ কারণ সদস্য সংখ্যা নেতিবাচক নয়)

অতএব, সভায় মোট সদস্যের সংখ্যা হলো \( n = 8 \)।