একটি মিটারগেজ ট্রেন 200m ব্যাসার্ধের রেল লাইনের বাঁক ঘুরছে। ঘন্টায় 50.4Km বেগে চলন্ত গাড়ির ক্ষেত্রে দুটি রেললাইনের উচ্চতার পার্থক্য কত?

Explanation: \(\text{Hints: } \tan \theta = \sin \theta = \frac{h}{x}; \, \tan \theta = \frac{v^2}{rg}\) \(\text{Solve: } r = 200 \, \mathrm{m}, \, v = 50.4 \, \mathrm{km/h} = \frac{50.4 \times 1000}{3600} = 14 \, \mathrm{ms^{-1}}\) \(\tan \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{(14)^2}{200 \times 9.8} = 0.1 \implies \theta = \tan^{-1}(0.1) = 5.7^\circ\) \(\text{ধরা যাক, } \tan \theta = \sin \theta = \frac{h}{x} \implies h = 0.1 \, \mathrm{m}\) \(\text{Ans. (C)}\)

Another Explanation (5): ```html

মিটারগেজ ট্রেনের বাঁক ঘোরার ক্ষেত্রে রেললাইনের উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয়

এখানে, একটি মিটারগেজ ট্রেন 200m ব্যাসার্ধের বাঁক ঘুরছে। ট্রেনের গতি 50.4 km/h। দুটি রেললাইনের মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, ট্রেনের গতিকে মিটার/সেকেন্ডে প্রকাশ করা যাক: \[ v = 50.4 \frac{km}{h} = 50.4 \times \frac{1000 m}{3600 s} = 14 m/s \]

মিটারগেজ রেললাইনের ক্ষেত্রে, দুটি লাইনের মধ্যে দূরত্ব (গেজ) সাধারণত 1 মিটার হয়। ধরি, দুটি রেললাইনের উচ্চতার পার্থক্য \( h \)। বাঁক ঘোরার সময়, কেন্দ্রমুখী বলের প্রভাবে ট্রেনের ভারসাম্য রক্ষার জন্য একটি নির্দিষ্ট উচ্চতার পার্থক্য তৈরি করা হয়।

উচ্চতার পার্থক্য নির্ণয়ের সূত্রটি হলো: \[ \tan \theta = \frac{v^2}{gR} \] যেখানে,

• \( v \) = ট্রেনের গতি (m/s)
• \( g \) = অভিকর্ষজ ত্বরণ (9.8 m/s²)
• \( R \) = বাঁকের ব্যাসার্ধ (m)
• \( \theta \) = উল্লম্ব কোণ

এখানে, \( v = 14 m/s \), \( g = 9.8 m/s^2 \), এবং \( R = 200 m \) । সুতরাং, \[ \tan \theta = \frac{(14)^2}{9.8 \times 200} = \frac{196}{1960} = 0.1 \]

যেহেতু \( \theta \) খুব ছোট, তাই \( \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta \)। এখন, উচ্চতার পার্থক্য \( h \) এবং গেজ \( G \) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো: \[ \sin \theta = \frac{h}{G} \] এখানে, \( G = 1 m \)। সুতরাং, \[ h = G \sin \theta \approx G \tan \theta = 1 \times 0.1 = 0.1 m \]

অতএব, দুটি রেললাইনের মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য 0.1 মিটার। 😃

```