ABC ত্রিভুজের cosA + cosC = sinB  হলে C কোণের মান কত? 

Explanation:

Another Explanation (5): ABC ত্রিভুজে, cosA + cosC = sinB হলে C কোণের মান নির্ণয়: আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180° বা π радиан। সুতরাং, A + B + C = π ⇒ B = π - (A + C) এখন, প্রদত্ত সমীকরণটি হল: cosA + cosC = sinB ⇒ cosA + cosC = sin(π - (A + C)) ⇒ cosA + cosC = sin(A + C) ∵ [sin(π - θ) = sinθ] ⇒ cosA + cosC = sinAcosC + cosAsinC ⇒ cosA - cosAsinC = sinAcosC - cosC ⇒ cosA(1 - sinC) = cosC(sinA - 1) ⇒ cosA(1 - sinC) = -cosC(1 - sinA) যদি sinA = 1 হয়, তবে A = π/2 হবে। সেক্ষেত্রে, cosA = 0 হবে। তখন cosC(sinA - 1) = 0 হবে। সুতরাং, C যেকোনো মান নিতে পারে। আবার, যদি sinC = 1 হয়, তবে C = π/2 হবে। সেক্ষেত্রে, cosC = 0 হবে। তখন cosA(1 - sinC) = 0 হবে। সুতরাং, A যেকোনো মান নিতে পারে। আমরা cosA + cosC = sinB কে লিখতে পারি: \(2 \cos(\frac{A+C}{2}) \cos(\frac{A-C}{2}) = \sin(B)\) যেহেতু \(B = \pi - (A+C)\), তাই \(\sin(B) = \sin(\pi - (A+C)) = \sin(A+C) = 2\sin(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A+C}{2})\) সুতরাং, \(2 \cos(\frac{A+C}{2}) \cos(\frac{A-C}{2}) = 2\sin(\frac{A+C}{2})\cos(\frac{A+C}{2})\) যদি \(\cos(\frac{A+C}{2}) = 0\) হয়, তবে \(\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2}\), অর্থাৎ \(A+C = \pi\)। সুতরাং \(B = 0\), যা সম্ভব নয়। সুতরাং, \(\cos(\frac{A+C}{2}) \neq 0\)। তাই আমরা ভাগ করতে পারি: \(\cos(\frac{A-C}{2}) = \sin(\frac{A+C}{2})\) \(\cos(\frac{A-C}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2})\) সুতরাং, \(\frac{A-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}\) অথবা \(\frac{A-C}{2} = -(\frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2})\) প্রথম ক্ষেত্রে, \(\frac{A-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2}\) \(A - C = \pi - A - C\) \(2A = \pi\) \(A = \frac{\pi}{2}\) দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, \(\frac{A-C}{2} = -(\frac{\pi}{2} - \frac{A+C}{2})\) \(A - C = -\pi + A + C\) \(-2C = -\pi\) \(C = \frac{\pi}{2}\) যদি A = π/2 হয়, তবে cos(π/2) + cosC = sinB 0 + cosC = sinB cosC = sinB cosC = sin(π - (π/2 + C)) cosC = sin(π/2 + C) cosC = cosC সুতরাং, C যেকোনো মান নিতে পারে। তবে যেহেতু এটি ত্রিভুজের কোণ, C < π/2 হবে। যদি C = π/2 হয়, তবে cosA + cos(π/2) = sinB cosA + 0 = sinB cosA = sinB cosA = sin(π - (A + π/2)) cosA = sin(π/2 - A) cosA = cosA সুতরাং, A যেকোনো মান নিতে পারে। তবে যেহেতু এটি ত্রিভুজের কোণ, A < π/2 হবে। অতএব, C = π/2 অথবা 90°।