যদি A+B+C = π, tan^-12 = A এবং tan^-13 = B  হয়, তবে C এর মান কত?

আমাদের দেওয়া আছে, \(A + B + C = \pi\)।

আরও দেওয়া আছে, \(A = \tan^{-1}2\) এবং \(B = \tan^{-1}3\)।

সুতরাং, \(C = \pi - (A + B)\)।

এখন, \(A + B = \tan^{-1}2 + \tan^{-1}3\)。

আমরা জানি, \(\tan^{-1}x + \tan^{-1}y = \tan^{-1}\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)\)।

অতএব, \(A + B = \tan^{-1}\left(\frac{2+3}{1-(2)(3)}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{1-6}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{5}{-5}\right) = \tan^{-1}(-1)\).

আমরা জানি, \(\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}\)। কিন্তু, \(A\) ও \(B\) যেহেতু ধনাত্মক, তাই \(A+B\) প্রথম চতুর্ভাগে থাকবে অথবা \( \pi \) এর থেকে ছোট হবে।

এক্ষেত্রে, \( \tan^{-1} \) এর range \((-\pi/2, \pi/2)\) হওয়ায় আমরা সরাসরি \(- \pi/4\) লিখতে পারি না।

আমরা জানি, \(\tan(\pi + x) = \tan(x)\).

সুতরাং, \(\tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\).

তাহলে, \(A + B = \frac{3\pi}{4}\).

অতএব, \(C = \pi - (A + B) = \pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4}\)।

সুতরাং, \(C = \frac{\pi}{4}\)। 🎉