sin⁴​θ - cos⁴​θ সমান—​​​​​​

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\sin^4 \theta - \cos^4 \theta\) সমান কি? উত্তর: \(2 \sin^2 \theta - 1\) সমাধান: প্রথমে, আমরা \(\sin^4 \theta - \cos^4 \theta\) কে ফ্যাক্টর করে লিখব: \[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 - (\cos^2 \theta)^2 \] এটি পার্সোনাল পার্শ্ববিন্যাসের মাধ্যমে দুইটি পার্শ্বভাগে বিভক্ত করতে পারি: \[ = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) \] আমাদের জানা আছে: \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] অতএব, \[ \sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) \times 1 = \sin^2 \theta - \cos^2 \theta \] এখন, \(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta\) কে সরলীকৃত করে দেখা যাক: \[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = 2 \sin^2 \theta - 1 \] এটি কারণ: \[ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \] এবং, \[ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \] অতএব, \[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} - \frac{1 + \cos 2\theta}{2} = \frac{1 - \cos 2\theta - 1 - \cos 2\theta}{2} = \frac{-2 \cos 2\theta}{2} = -\cos 2\theta \] অন্যদিকে, আমরা জানি: \[ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \] তাই, \[ 2 \sin^2 \theta - 1 = 2 \times \frac{1 - \cos 2\theta}{2} - 1 = (1 - \cos 2\theta) - 1 = - \cos 2\theta \] অতএব, \[ \sin^2 \theta - \cos^2 \theta = 2 \sin^2 \theta - 1 \] সুতরাং, \[ \boxed{\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = 2 \sin^2 \theta - 1} \]