4x+3y=C, 12x-5y=2(C+3) রেখাদ্বয় মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী। C এর মান কত?

🤔 দেওয়া আছে, দুটি সরলরেখা:

\(4x + 3y = C\) ........(1)

\(12x - 5y = 2(C + 3)\) বা, \(12x - 5y = 2C + 6\) ........(2)

বলা হয়েছে রেখা দুটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী।

আমরা জানি, \(ax + by + c = 0\) সরলরেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \( \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)।

(1) নং রেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব,

\(d_1 = \frac{|-C|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|C|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|C|}{\sqrt{25}} = \frac{|C|}{5}\)

(2) নং রেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব,

\(d_2 = \frac{|-(2C + 6)|}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}} = \frac{|2C + 6|}{\sqrt{144 + 25}} = \frac{|2C + 6|}{\sqrt{169}} = \frac{|2C + 6|}{13}\)

যেহেতু রেখা দুটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী, তাই \(d_1 = d_2\)

অতএব, \( \frac{|C|}{5} = \frac{|2C + 6|}{13}\)

\(\Rightarrow 13|C| = 5|2C + 6|\)

এখন, দুটি সম্ভাবনা আলোচনা করা যাক:

সম্ভাবনা ১: \(13C = 5(2C + 6)\)

\(\Rightarrow 13C = 10C + 30\)

\(\Rightarrow 3C = 30\)

\(\Rightarrow C = 10\)

সম্ভাবনা ২: \(13C = -5(2C + 6)\)

\(\Rightarrow 13C = -10C - 30\)

\(\Rightarrow 23C = -30\)

\(\Rightarrow C = -\frac{30}{23}\)

যদি \(C = -\frac{30}{23}\) হয়, তবে,

1ম রেখা: \(4x+3y=-\frac{30}{23}\) বা, \(92x+69y+30=0\)

2য় রেখা: \(12x-5y=2(-\frac{30}{23}+3)\) বা, \(12x-5y=2(\frac{39}{23})\) বা, \(276x-115y-78=0\)

এক্ষেত্রে মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব:

\(d_1 = \frac{|30|}{\sqrt{92^2+69^2}}=\frac{30}{115}\)

\(d_2 = \frac{|-78|}{\sqrt{276^2+115^2}}=\frac{78}{345}=\frac{30}{115}\)

সুতরাং, দুটি উত্তরই সঠিক। 👍

কিন্তু অপশনে যেহেতু 10 আছে, তাই \(C = 10\) উত্তরটি গ্রহণ করা হলো। 🎉

অতএব, \(C = 10\). 💖