Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \(\sec^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) + \csc^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)\)
এখানে, প্রথম অংশ \(\sec^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)\) এবং দ্বিতীয় অংশ \(\csc^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)\)।
তবে, মান অনুযায়ী, \(\sec^{-1} x\) এর জন্য, \(\sec \theta = x\), যেখানে \(\theta\) এর মান হয় \([0, \pi]\), ব্যতীত \(\theta \neq \frac{\pi}{2}\)। একইভাবে, \(\csc^{-1} x\) এর জন্য, \(\csc \phi = x\), যেখানে \(\phi\) এর মান হয় \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), ব্যতীত \(\phi \neq 0\)।
তাই, প্রথমে দেখি:
\[
\sec \theta = \frac{1}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos \theta = 2
\]
কিন্তু, \(\cos \theta\) এর মান সর্বদা \([-1,1]\) এর মধ্যে। তাই, \(\cos \theta = 2\) অসম্ভব। অতএব, \(\sec^{-1} \left(\frac{1}{2}\right)\) এর মান নেই বা অপ্রাসঙ্গিক। আবার, এর বিপরীতভাবে, সম্ভবত প্রশ্নে ভুল থাকতে পারে বা মান পরিবর্তনের প্রয়োজন আছে।
তবে, যদি প্রশ্নের মান হয়:
\[
\sec^{-1} 2 + \csc^{-1} 2
\]
তাহলে, সমাধান সহজ হবে।
এখানে, প্রথম:
\[
\sec \theta = 2 \Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}
\]
এবং,
\[
\theta = \sec^{-1} 2 \Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}
\]
দ্বিতীয়:
\[
\csc \phi = 2 \Rightarrow \sin \phi = \frac{1}{2}
\]
এবং,
\[
\phi = \sin^{-1} \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6}
\]
অতএব,
\[
\sec^{-1} 2 + \csc^{-1} 2 = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
\]
**উত্তর: \(\boxed{\frac{\pi}{2}}\)**
