cot^-1(sin^-1 (1/2))এর মান কত হবে?

প্রশ্ন: \(\cot^{-1}(\sin^{-1}(\frac{1}{2}))\) এর মান কত হবে?

উত্তর: \(\frac{\pi}{3}\)

সমাধান:

ধরা যাক:

\(x = \cot^{-1}(\sin^{-1}(\frac{1}{2}))\)

অর্থাৎ:

\(\cot x = \sin^{-1}(\frac{1}{2})\)

প্রথমে, \(\sin^{-1}(\frac{1}{2})\) এর মান নির্ণয় করি:

\(\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \theta\)

এখানে, \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) এবং \(\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)

বিশ্লেষণে, \(\sin \theta = \frac{1}{2}\) হলে, \(\theta = \frac{\pi}{6}\)

অতএব, মূল সমীকরণটি হয়:

\(\cot x = \frac{\pi}{6}\)

তাহলে, \(\cot x = \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right)\), তাই:

\(\tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{\cot x} = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)\)

এখানে, \(\tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

অর্থাৎ:

\(\frac{\pi}{2} - x = \frac{\pi}{6}\)

অতএব:

\(x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}\)

অতএব,

\(\boxed{\frac{\pi}{3}}\)