বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে -

1.  sin^-1 x + cos^-1 x = π/2    যখন  x ε [-1,2]
2.   tan^-1 + cot^-1 x = π/2   যখন x ε  ℝ
3.   sec^-1 x + cosec^-1 x = π/2  যখন x ε (-∞,-1) ∩ [ 1,∞)

নিচের কোনটি সঠিক? 

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান:

1. প্রথম বিবৃতি:

   \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \)

   সাধারণত, \(\sin^{-1} x\) ও \(\cos^{-1} x\) এর জন্য সত্য যে:

   \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \), যখন \(x \in [-1, 1]\)

   অর্থাৎ, এই সমীকরণটি সত্য যেখান??? \(x\) এর মান \([-1, 1]\) এর মধ্যে।

   প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে \(x \in [-1, 2]\)।

   অতএব, এই সমীকরণ কেবল তখনই সত্য যখন \(x \in [-1, 1]\)।

   তাই, এটি ভুল নয়, তবে, সম্পূর্ণভাবে \(x \in [-1,2]\) এর জন্য নয়।

2. দ্বিতীয় বিবৃতি:

   \( \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} \) যখন \(x \in \mathbb{R}\)

   এটি সত্য, কারণ:

   \( \cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x} \), যখন \(x \neq 0\)।

   এবং, \(\tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}\) সব ধরণের বাস্তব সংখ্যার জন্য সত্য, এক্ষেত্রে \(x \neq 0\)।

   যদিও, \(x=0\) এর জন্য:\)

   \( \tan^{-1} 0 + \cot^{-1} 0 = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}\)

   অর্থাৎ, এটি সব বাস্তব সংখ্যার জন্য সত্য।

3. তৃতীয় বিবৃতি:

   \( \sec^{-1} x + \csc^{-1} x = \frac{\pi}{2} \) যখন \(x \in (-\infty, -1) \cup [1, \infty)\)

   এটি পরীক্ষা করতে হবে।

   প্রথমত, \(\sec^{-1} x\) এর মান ধরা হয় যখন \(x \leq -1\) বা \(x \geq 1\)।

   দ্বিতীয়ত, \(\csc^{-1} x\) এর মান ধরা হয় যখন \(x \leq -1\) বা \(x \geq 1\)।

   অতএব, যেসব মানে এই সমীকরণটি সত্য হবে, সেগুলি এই সেটে পড়ে।

   তবে, এই সমীকরণের জন্য সাধারণ যুক্তি হলো:

   \(\sec^{-1} x = \theta\), যেখানে \(x = \sec \theta\), \(\theta \in [0, \pi]\), \(\theta \neq \frac{\pi}{2}\)

   \(\csc^{-1} x = \phi\), যেখানে \(x = \csc \phi\), \(\phi \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), \(\phi \neq 0\)

   এখন, \(\sec^{-1} x + \csc^{-1} x = \frac{\pi}{2}\) এমন তখন হয় যখন এই দুই অ্যাঙ্গেল যোগফল \(\frac{\pi}{2}\) হয়।

   এটি সম্ভাব্য সত্য, যখন \(x\) এর মান এই সেটে পড়ে।

   অতএব, এই বিবৃতি সত্য।

উপসংহার:

প্রশ্নের তিনটি বিবৃতি বিশ্লেষণ করে দেখা যায়:

• প্রথমটি কিছু শর্তে সত্য, কিন্তু পুরো \([-1, 2]\) এর জন্য নয়।
• দ্বিতীয়টি সব বাস্তব সংখ্যার জন্য সত্য।
• তৃতীয়টি ঠিক সেটের জন্য সত্য যেখানে \(x \in (-\infty, -1) \cup [1, \infty)\)।

তাই, সঠিক উত্তর হল: i ও ii