cot^-15/3 +sin^-13/5 এর মান কত?

প্রশ্ন: \(\cot^{-1}\frac{5}{3} + \sin^{-1}\frac{3}{5}\) এর মান কত?

উত্তর: \(\tan^{-1}\frac{27}{11}\)

সমাধান:

ধরি, \(A = \cot^{-1}\frac{5}{3}\) এবং \(B = \sin^{-1}\frac{3}{5}\)

প্রথমে, \(A = \cot^{-1}\frac{5}{3}\) মানে:

• \(\cot A = \frac{5}{3}\)
• অর্থাৎ, \(\tan A = \frac{1}{\cot A} = \frac{3}{5}\)

তাহলে, \(\tan A = \frac{3}{5}\)

দ্বিতীয়ত, \(B = \sin^{-1}\frac{3}{5}\) মানে:

• \(\sin B = \frac{3}{5}\)
• পাইথাগোরাস থিওরেম অনুযায়ী, \(\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}\)

এখন, \(\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}\)

অতএব, \(\tan A = \frac{3}{5}\) এবং \(\tan B = \frac{3}{4}\)

আমরা জানি, \(\cot^{-1} x + \sin^{-1} y\) এর জন্য সরাসরি যোগফলের জন্য নির্দিষ্ট সূত্র নেই, তবে আমরা \(\tan\) ব্যবহার করে সমাধান করতে পারি, কারণ:

• \(A = \cot^{-1}\frac{5}{3}\) থেকে, \(\cot A = \frac{5}{3}\), তাই, \(\tan A = \frac{3}{5}\)
• \(B = \sin^{-1}\frac{3}{5}\) থেকে, \(\tan B = \frac{3}{4}\)

এখন, \(\cot^{-1}\frac{5}{3} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = A + B\)।

তাই, \(\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{\frac{3}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{5} \times \frac{3}{4}}\)

গণনা করি:

\(\tan(A + B) = \frac{\frac{3}{5} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{5} \times \frac{3}{4}}\)
= \frac{\(\frac{12}{20} + \frac{15}{20}\)}{\(1 - \frac{9}{20}\)} 
= \frac{\(\frac{27}{20}\)}{\(\frac{11}{20}\)} 
= \frac{27}{20} \times \frac{20}{11} 
= \frac{27}{11}

অতএব, \(\tan(A + B) = \frac{27}{11}\)

সুতরাং, \(\boxed{\cot^{-1}\frac{5}{3} + \sin^{-1}\frac{3}{5} = \tan^{-1}\frac{27}{11}}\)