বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে-

1. cos-1x-cos-1y= Cos^-1{xy-sqrt((1-x^2)(1-y^2))} 
2. 2cos^-1x=cos^-1(2x²-1)
3. 3cos^-1x=cos^-1(4x³-3x)

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নের বিকল্পগুলো হলো: i) \(\cos^{-1}x - \cos^{-1}y = \cos^{-1}\left(x y - \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)}\right)\) ii) \(2 \cos^{-1}x = \cos^{-1}(2x^2 - 1)\) iii) \(3 \cos^{-1}x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x)\) --- ### বিশ্লেষণ: #### 1. বিকল্প (ii): প্রমাণ করি: \(\boxed{2 \cos^{-1}x = \cos^{-1}(2x^2 - 1)}\) **উপাদান**: \[ \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1 \] এখন, ধরি \(\theta = \cos^{-1} x\): \[ \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 2x^2 - 1 \] অতএব, \[ 2 \cos^{-1} x = \cos^{-1}(2x^2 - 1) \] **সুতরাং, (ii) সঠিক।** --- #### 2. বিকল্প (iii): প্রমাণ করি: \(\boxed{3 \cos^{-1} x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x)}\) **উপাদান**: \[ \cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \] ধরি \(\theta = \cos^{-1} x\): \[ \cos 3\theta = 4x^3 - 3x \] অতএব, \[ 3 \cos^{-1} x = \cos^{-1}(4x^3 - 3x) \] **সুতরাং, (iii) সঠিক।** --- #### 3. বিকল্প (i): প্রমাণ করি: \[ \cos^{-1} x - \cos^{-1} y = \cos^{-1} \left( xy - \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} \right) \] **অথবা,** এটি একটি বিকল্প সূত্র যা সত্য কিনা দেখা দরকার। **বিশ্লেষণ**: সাধারণত, \[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \] এবং, \[ \cos (\cos^{-1} x) = x, \quad \sin (\cos^{-1} x) = \sqrt{1 - x^2} \] সুতরাং, \[ \cos \left( \cos^{-1} x - \cos^{-1} y \right) = x y + \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} \] অর্থাৎ, \[ \cos^{-1} x - \cos^{-1} y = \cos^{-1} \left( xy + \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} \right) \] অপরদিকে, দেওয়া সূত্রে: \[ \cos^{-1} x - \cos^{-1} y = \cos^{-1} \left( xy - \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} \right) \] যা ভুল, কারণ সাইন ও কসাইনের সূত্র অনুযায়ী, **সঠিক** হলো: \[ \cos (\cos^{-1} x - \cos^{-1} y) = xy + \sqrt{(1 - x^2)(1 - y^2)} \] অতএব, প্রথম সূত্রটি **অসত্য**। --- ### **উপসংহার**: অতএব, **সঠিক বিকল্পগুলো হল (ii) ও (iii)**। --- ### **উত্তর:** ```html

উত্তর: ii ও iii

```