cos2 (tan⁻¹ 1/√2) এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\cos 2 \left( \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) এর মান কত? সমাধান: ধরা যাক, \[ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \] অর্থাৎ, \[ \tan \theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \] একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, যেখানে বিপরীত (opposite) হলো 1 এবং আশ্রয় (adjacent) হলো \(\sqrt{2}\), তাহলে হাইপোথেনিউস (hypotenuse) হবে: \[ \text{hypotenuse} = \sqrt{ (1)^2 + (\sqrt{2})^2 } = \sqrt{ 1 + 2 } = \sqrt{3} \] অতএব, \[ \sin \theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] \[ \cos \theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] এখন, \[ \cos 2\theta = 2 \cos^2 \theta - 1 \] প্রথমে, \(\cos^2 \theta\) হিসাব করি: \[ \cos^2 \theta = \left( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{2}{3} \] সুতরাং, \[ \cos 2\theta = 2 \times \frac{2}{3} - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3} \] অতএব, \[ \boxed{ \cos 2 \left( \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{3} } \]