If sin^-1x+cos^-1(x/2)=(5pi)/6, then the value of x is-
IUTউচ্চতর গণিত দ্বিতীয় পত্রবিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোনমিতিক সমীকরননির্দিষ্ট ব্যবধিতে সমীকরণ সমাধান (Topic Practice)IUT - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
None of these
Another Explanation (5): প্রশ্ন: যদি \(\sin^{-1} x + \cos^{-1} \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6}\), তাহলে \(x\) এর মান কি?
সমাধান:
প্রথমে, জানা আছে যে,
\[
\sin^{-1} y + \cos^{-1} y = \frac{\pi}{2}
\]
যখন \( -1 \leq y \leq 1 \)।
তাহলে, যদি আমরা ধরি \( y = \frac{x}{2} \), তাহলে,
\[
\sin^{-1} \frac{x}{2} + \cos^{-1} \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2}
\]
অর্থাৎ,
\[
\cos^{-1} \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{x}{2}
\]
আসুন মূল সমীকরণে এই মান বসাই:
\[
\sin^{-1} x + \left( \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} \frac{x}{2} \right) = \frac{5\pi}{6}
\]
অর্থাৎ,
\[
\sin^{-1} x - \sin^{-1} \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}
\]
এখন, ধরি:
\[
A = \sin^{-1} x,\quad B = \sin^{-1} \frac{x}{2}
\]
তাহলে,
\[
A - B = \frac{\pi}{3}
\]
এবং,
\[
\sin A = x,\quad \sin B = \frac{x}{2}
\]
এখন, \(A\) ও \(B\) এর জন্য:
\[
A = B + \frac{\pi}{3}
\]
সুতরাং,
\[
\sin A = \sin \left( B + \frac{\pi}{3} \right)
\]
সিনের সূত্রানুসারে:
\[
\sin(A) = \sin B \cos \frac{\pi}{3} + \cos B \sin \frac{\pi}{3}
\]
জানা:
\[
\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2},\quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
অতএব,
\[
x = \sin A = \sin B \cdot \frac{1}{2} + \cos B \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
তাহলে,
\[
x = \frac{1}{2} \sin B + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B
\]
এখানে, \(\sin B = \frac{x}{2}\), তাই:
\[
x = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B
\]
\[
x = \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B
\]
এখন, \(\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 B} = \sqrt{1 - \left( \frac{x}{2} \right)^2} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}\)
তাহলে,
\[
x = \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}
\]
এখন, উভয় পাশে \(x\) এর জন্য সমাধান করি:
\[
x - \frac{x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}
\]
\[
\frac{3x}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{1 - \frac{x^2}{4}}
\]
উভয় পাশে স্কোয়ার করি:
\[
\left( \frac{3x}{4} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 \left( 1 - \frac{x^2}{4} \right)
\]
\[
\frac{9x^2}{16} = \frac{3}{4} \left( 1 - \frac{x^2}{4} \right)
\]
বাঁ পাশে গুণ করি 16:
\[
9x^2 = 16 \times \frac{3}{4} \left( 1 - \frac{x^2}{4} \right)
\]
\[
9x^2 = 4 \times 3 \left( 1 - \frac{x^2}{4} \right)
\]
\[
9x^2 = 12 \left( 1 - \frac{x^2}{4} \right)
\]
বিচ্ছিন্ন করি:
\[
9x^2 = 12 - 3x^2
\]
এখন, সব একপাশে নিয়ে আসি:
\[
9x^2 + 3x^2 = 12
\]
\[
12x^2 = 12
\]
\[
x^2 = 1
\]
অতএব,
\[
x = \pm 1
\]
উল্লেখ্য, যেহেতু \(\sin^{-1} x\) ও \(\sin^{-1} \frac{x}{2}\) এর মান অবশ্যই নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকতে হবে (অর্থাৎ \(-1 \leq x \leq 1\)), তাই এই সমাধানগুলো গ্রহণযোগ্য।
সুতরাং,
\[
\boxed{
x = \pm 1
}
\]
উত্তর: "of these"