tan^-1x+2cot^-1x = 2π/3 হলে x এর মান কত ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\tan^{-1} x + 2 \cot^{-1} x = \frac{2\pi}{3}\) হলে \(x\) এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, আমাদের জানা দরকার যে, \(\cot^{-1} x = \tan^{-1} \frac{1}{x}\) (যদি \(x \neq 0\))। সুতরাং, সমীকরণটি হবে: \[ \arctan x + 2 \arctan \frac{1}{x} = \frac{2\pi}{3} \] এখন, আমাদের জানি যে: \[ \arctan a + \arctan b = \arctan \left( \frac{a + b}{1 - a b} \right), \quad \text{যখন } a b < 1 \] তাই, প্রথম দুটি টার্ম যোগ করলে, \[ \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \arctan \left( \frac{x + \frac{1}{x}}{1 - x \times \frac{1}{x}} \right) = \arctan \left( \frac{x + \frac{1}{x}}{1 - 1} \right) \] নোট করুন, ডিনোমিনেটর হলো: \[ 1 - 1 = 0 \] অর্থাৎ, এই যোগফল অসীম হবে বা \(\frac{\pi}{2}\) (যখন \(\arctan\) এর মানের জন্য ডিনোমিনেটর 0 হয়, তখন ফলাফল \(\frac{\pi}{2}\))। তাই, \[ \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \] এখন, সমীকরণে: \[ \arctan x + 2 \arctan \frac{1}{x} = \frac{2\pi}{3} \] এখানে, \(\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\), তাই: \[ \frac{\pi}{2} + \arctan \frac{1}{x} = \frac{2\pi}{3} \] অতএব, \[ \arctan \frac{1}{x} = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \] এবং, \[ \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{6} \] অর্থাৎ, \[ \frac{1}{x} = \tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] অতএব, \[ x = \sqrt{3} \] **উত্তর: \(\boxed{\sqrt{3}}\)**