sin[ 2(sin^-1x + cos^-1x)] = a হলে, এ এর মান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \sin \left[ 2 \left( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \right) \right] = a \) হলে, এ এর মান কত? সমাধান: প্রথমে, আমাদের জানানো হয়েছে: \[ \sin \left[ 2 \left( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \right) \right] = a \] ধরা যাক, \[ A = \sin^{-1} x \quad \text{এবং} \quad B = \cos^{-1} x \] তাহলে, \[ a = \sin \left( 2(A + B) \right) \] এখন, আমাদের প্রয়োজন \( A + B \) এর মান নির্ণয় করা। জানা আছে: \[ A = \sin^{-1} x \quad \Rightarrow \quad \sin A = x \] এবং \[ B = \cos^{-1} x \quad \Rightarrow \quad \cos B = x \] বিশেষ করে, \( A \) এবং \( B \) এর জন্য, \[ A, B \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \quad \text{এবং} \quad \left[ 0, \pi \right] \] তাই, \[ A + B = \sin^{-1} x + \cos^{-1} x \] প্রশ্নে পরিচিত একটি মৌলিক সূত্র হলো: \[ \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \] যেকোনো \( x \in [-1, 1] \) জন্য এই সত্য: \[ A + B = \frac{\pi}{2} \] অতএব, \[ a = \sin \left( 2 \times \frac{\pi}{2} \right) = \sin (\pi) = 0 \] অতএব, \[ \boxed{a = 0} \]