Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে আমাদের দেওয়া মানগুলোকে বুঝে নিই:
\[
\sec^2(\tan^{-1} 2) + \csc^2(\cot^{-1} 3)
\]
### ধাপ ১: \(\sec^2(\tan^{-1} 2)\) এর মান নির্ণয়
ধরি, \(\theta = \tan^{-1} 2\), অর্থাৎ:
\[
\tan \theta = 2
\]
একটি ত্রিভুজ ধরা যাক যেখানে বিপরীত (opposite) = 2 এবং আশ্রয় (adjacent) = 1। তাহলে হাইপোটেনিউজ (hypotenuse):
\[
\text{hypotenuse} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
এখন,
\[
\sec \theta = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}
\]
অতএব,
\[
\sec^2 \theta = (\sqrt{5})^2 = 5
\]
### ধাপ ২: \(\csc^2(\cot^{-1} 3)\) এর মান নির্ণয়
ধরি, \(\phi = \cot^{-1} 3\), অর্থাৎ:
\[
\cot \phi = 3
\]
এখানে, \(\cot \phi = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}\), তাই ধরি:
\[
\text{adjacent} = 3 \quad \text{এবং} \quad \text{opposite} = 1
\]
এখন, হাইপোটেনিউজ:
\[
\text{hypotenuse} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]
এখন,
\[
\sin \phi = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{10}}
\]
অতএব,
\[
\csc \phi = \frac{1}{\sin \phi} = \sqrt{10}
\]
অতএব,
\[
\csc^2 \phi = (\sqrt{10})^2 = 10
\]
### চূড়ান্ত উত্তর:
\[
\sec^2(\tan^{-1} 2) + \csc^2(\cot^{-1} 3) = 5 + 10 = 15
\]
**অতএব, উত্তর হলো: \(\boxed{15}\)**
