sec²(tan^-12)+ cosec²(cot^-13) এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে আমাদের দেওয়া মানগুলোকে বুঝে নিই: \[ \sec^2(\tan^{-1} 2) + \csc^2(\cot^{-1} 3) \] ### ধাপ ১: \(\sec^2(\tan^{-1} 2)\) এর মান নির্ণয় ধরি, \(\theta = \tan^{-1} 2\), অর্থাৎ: \[ \tan \theta = 2 \] একটি ত্রিভুজ ধরা যাক যেখানে বিপরীত (opposite) = 2 এবং আশ্রয় (adjacent) = 1। তাহলে হাইপোটেনিউজ (hypotenuse): \[ \text{hypotenuse} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] এখন, \[ \sec \theta = \frac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent}} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5} \] অতএব, \[ \sec^2 \theta = (\sqrt{5})^2 = 5 \] ### ধাপ ২: \(\csc^2(\cot^{-1} 3)\) এর মান নির্ণয় ধরি, \(\phi = \cot^{-1} 3\), অর্থাৎ: \[ \cot \phi = 3 \] এখানে, \(\cot \phi = \frac{\text{adjacent}}{\text{opposite}}\), তাই ধরি: \[ \text{adjacent} = 3 \quad \text{এবং} \quad \text{opposite} = 1 \] এখন, হাইপোটেনিউজ: \[ \text{hypotenuse} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \] এখন, \[ \sin \phi = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \] অতএব, \[ \csc \phi = \frac{1}{\sin \phi} = \sqrt{10} \] অতএব, \[ \csc^2 \phi = (\sqrt{10})^2 = 10 \] ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ \sec^2(\tan^{-1} 2) + \csc^2(\cot^{-1} 3) = 5 + 10 = 15 \] **অতএব, উত্তর হলো: \(\boxed{15}\)**