1. 2tan^-1 z = tan^-1((2z)/(1-z^2)) 
2. 2tan^-1 z = sin^-1((2z)/(1-z^2))
3. 2tan^-1 z = cos^-1((1-z^2)/(1+z^2)) 

নিচের কোনটি সঠিক ?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: নিম্নলিখিত বিকল্পগুলো থেকে কোনটি সঠিক? 1. \( 2 \tan^{-1} z = \tan^{-1}\left(\frac{2z}{1 - z^2}\right) \) 2. \( 2 \tan^{-1} z = \sin^{-1}\left(\frac{2z}{1 - z^2}\right) \) 3. \( 2 \tan^{-1} z = \cos^{-1}\left(\frac{1 - z^2}{1 + z^2}\right) \) উত্তর: "i ও iii" --- ### সমাধান: #### 1. \( 2 \tan^{-1} z = \tan^{-1}\left(\frac{2z}{1 - z^2}\right) \) প্রমাণ: ধরা যাক, \( \theta = \tan^{-1} z \). তাহলে, \[ z = \tan \theta \] এবং, \[ 2 \theta = 2 \tan^{-1} z \] আমরা জানি, \[ \tan 2 \theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} \] অর্থাৎ, \[ \tan 2 \theta = \frac{2z}{1 - z^2} \] অতএব, \[ 2 \tan^{-1} z = \tan^{-1} \left( \frac{2z}{1 - z^2} \right) \] অর্থাৎ, বিকল্প (i) সঠিক। --- #### 2. \( 2 \tan^{-1} z = \sin^{-1}\left(\frac{2z}{1 - z^2}\right) \) প্রমাণ: আমরা দেখেছি যে, \[ 2 \tan^{-1} z = \tan^{-1} \left( \frac{2z}{1 - z^2} \right) \] এবং, সাধারণত, \[ \sin^{-1} x \neq \tan^{-1} x \quad \forall x \] অতএব, এই সমীকরণ সাধারণত সত্য নয়। এটি কেবল তখনই সত্য হতে পারে যদি এর নির্দিষ্ট সীমা বা শর্ত পূরণ হয়, কিন্তু সাধারণ ক্ষেত্রে না। অতএব, বিকল্প (ii) সঠিক নয়। --- #### 3. \( 2 \tan^{-1} z = \cos^{-1} \left( \frac{1 - z^2}{1 + z^2} \right) \) প্রমাণ: আমরা জানি, \[ \cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \] তাহলে, \[ \cos 2 \theta = \frac{1 - z^2}{1 + z^2} \] এবং, \[ 2 \tan^{-1} z = 2 \theta \] অর্থাৎ, \[ 2 \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1 - z^2}{1 + z^2} \right) \] অতএব, \[ 2 \tan^{-1} z = \cos^{-1} \left( \frac{1 - z^2}{1 + z^2} \right) \] অর্থাৎ, বিকল্প (iii) সঠিক। --- ### উপসংহার: উপরে দেখানো হলো যে, বিকল্প (i) এবং (iii) যথার্থ। তাই, উত্তর: ```html উত্তর: "i ও iii" ```