f(x) = tan x এবং g(x) = sin^-1 x 

 g(y)+g(sqrt(1-y^2))

এর মান নিচের কোনটি? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(f(x) = \tan x\) এবং \(g(x) = \sin^{-1} x\) হলে, আমাদেরকে নির্ণয় করতে হবে: \(g(y) + g(\sqrt{1 - y^2})\) এর মান কত? সমাধান: ধরা যাক, \(g(y) = \sin^{-1} y\)। তাহলে, \[ g(y) + g(\sqrt{1 - y^2}) = \sin^{-1} y + \sin^{-1} (\sqrt{1 - y^2}) \] আমাদের লক্ষ্য হলো এই সমীকরণের মান নির্ণয় করা। ধরি: \[ A = \sin^{-1} y \] অর্থাৎ, \[ y = \sin A \] এখন, \[ g(\sqrt{1 - y^2}) = \sin^{-1} (\sqrt{1 - y^2}) \] যেখানে, \[ \sqrt{1 - y^2} = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \cos A \] অতএব, \[ g(\sqrt{1 - y^2}) = \sin^{-1} (\cos A) \] এখন, আমরা জানি যে, \(A = \sin^{-1} y\), যেখানে \(A \in [-\pi/2, \pi/2]\)। এবং, \[ \sin^{-1} (\cos A) = \sin^{-1} (\sin (\pi/2 - A)) \] কারণ, \[ \cos A = \sin (\pi/2 - A) \] তাহলে, \[ \sin^{-1} (\cos A) = \sin^{-1} (\sin (\pi/2 - A)) \] যেহেতু, \(\sin^{-1}\) এর মান \\([- \pi/2, \pi/2]\) এর মধ্যে, এবং \(\pi/2 - A \in [0, \pi]\), তাই, \[ \sin^{-1} (\sin (\pi/2 - A)) = \begin{cases} \pi/2 - A, & \text{যখন } 0 \leq \pi/2 - A \leq \pi/2 \\ \text{(অন্যথায়)} \text{উপযুক্ত মান} \end{cases} \] এখানে, \(A \in [-\pi/2, \pi/2]\), তাই: \[ \pi/2 - A \in [0, \pi] \] অতএব, যখন \(\pi/2 - A \in [0, \pi/2]\), তখন, \[ \sin^{-1} (\sin (\pi/2 - A)) = \pi/2 - A \] এবং, যেহেতু \(A \in [-\pi/2, \pi/2]\), তাহলে, \[ \pi/2 - A \in [0, \pi] \] বিশেষ করে, যখন \(A \in [0, \pi/2]\), তখন, \[ \pi/2 - A \in [0, \pi/2] \] সুতরাং, \[ \sin^{-1} (\cos A) = \pi/2 - A \] অতএব, \[ g(y) + g(\sqrt{1 - y^2}) = A + (\pi/2 - A) = \pi/2 \] এখানে, \(A = \sin^{-1} y\), তাই ফলাফল হলো: \[ \boxed{\pi/2} \] উত্তর: \(\pi/2\)