tan-1x + tan-1y = pi + tan-1 (x+y)/(1-xy) হলে -
- xy<1
- xy=1
- xy>1
i, ii ও iii
প্রশ্ন:
tan-1x + tan-1y = π + tan-1 \(\frac{x + y}{1 - xy}\)
উত্তর:
"i, ii ও iii"
সমাধান:
ধরি,
\(A = \tan^{-1} x\), ও \(B = \tan^{-1} y\)
তাহলে, প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণটি হয়:
\(A + B = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)
Step 1: সাধারণ সমাধান সূত্র ব্যবহার করে দেখি:
তাদের যোগফল সূত্র অনুযায়ী,
\(A + B = \tan^{-1} \left(\frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)
Step 2: মূল সমীকরণে দেওয়া হয়েছে:
\(A + B = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)
Step 3: দুটো সমান হওয়ার জন্য, এই সমীকরণের মান অবশ্যই একটির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত হওয়া উচিত।
তাহলে,
\(\tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right) = A + B - \pi\)
Step 4: \(\tan^{-1}\) এর মানে, এই সমীকরণটি ধরা যাক:
যদি \(A + B = \pi + \theta\), যেখানে \(\theta = \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\), তবে,
\(\theta = A + B - \pi\)
Step 5: এখন, \(\tan (A + B)\) এর মান নির্ণয় করি।
\(\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} = \frac{x + y}{1 - xy}\)
Step 6: এখন, মূল সমীকরণের মধ্যে,
\(A + B = \pi + \tan^{-1} \left(\frac{x + y}{1 - xy}\right)\)
এবং, \(\tan (A + B) = \tan (\pi + \theta) = \tan \theta\), কারণ \(\tan (\pi + \theta) = \tan \theta\)
Step 7: এটি থেকে,
\(\frac{x + y}{1 - xy} = \tan \theta\)
Step 8: তবে, \(\theta = A + B - \pi\), যেখানে \(A = \tan^{-1} x\) ও \(B = \tan^{-1} y\)।
তাহলে, \(\theta = \tan^{-1} x + \tan^{-1} y - \pi\)
Step 9: \(\tan (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y) = \frac{x + y}{1 - xy}\)
এবং, \(\tan (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y) = \frac{\tan \tan^{-1} x + \tan \tan^{-1} y}{1 - \tan \tan^{-1} x \tan \tan^{-1} y} = \frac{x + y}{1 - xy}\)
Step 10: এখন, \(\tan (\tan^{-1} x + \tan^{-1} y) = \frac{x + y}{1 - xy}\), যা ইতিমধ্যে দেওয়া হয়েছে।
Step 11: এই সমীকরণের ভিত্তিতে, আমরা বুঝতে পারি যে:
- যদি \(xy < 1\), তাহলে \(\frac{x + y}{1 - xy}\) বাস্তব মান হবে এবং সমীকরণটি সত্য হবে।
- যদি \(xy = 1\), তাহলে, \(\frac{x + y}{1 - xy}\) অসীম হবে বা দৃষ্টান্তে অসীম মানে সমীকরণ অপ্রয়োজনীয়।
- যদি \(xy > 1\), তখন, \(\frac{x + y}{1 - xy}\) নেতিবাচক বা অসীম মানে আড়াআড়ি পরিবর্তন হতে পারে।
অতএব, এই সমীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত হলো:
- i. \(xy < 1\)
- ii. \(xy = 1\)
- iii. \(xy > 1\)
উপসংহার:
অর্থাৎ, উপরের সব শর্তই সঠিক। তাই, উত্তর হবে: i, ii ও iii