(3,2), (3,10), (-5,2) শীর্ষবিশিষ্ট ত্রিভুজের -

1. ক্ষেত্রফল 32 বর্গ একক
2. ভরকেন্দ্র (1/3,14/3) 
3. ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নে উল্লেখিত শীর্ষবিন্দুগুলো হলো: \(A(3,2)\), \(B(3,10)\), \(C(-5,2)\)। প্রথমে এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল, ভরকেন্দ্র এবং কোণ সম্পর্কিত তথ্য নির্ণয় করি।

1. ক্ষেত্রফল নির্ণয়

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \] প্রয়োগ করি: \[ \begin{aligned} \text{Area} &= \frac{1}{2} |3 (10 - 2) + 3 (2 - 2) + (-5)(2 - 10)| \\ &= \frac{1}{2} |3 \times 8 + 3 \times 0 + (-5) \times (-8)| \\ &= \frac{1}{2} |24 + 0 + 40| \\ &= \frac{1}{2} \times 64 = 32 \end{aligned} \] অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল \(= 32\) বর্গ একক। => **(i) সঠিক।**

2. ভরকেন্দ্র (Centroid) নির্ণয়

ভরকেন্দ্রের নির্ণয় সূত্র: \[ G\left(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}\right) \] প্রয়োগ করি: \[ \begin{aligned} x_G &= \frac{3 + 3 + (-5)}{3} = \frac{1}{3} \\ y_G &= \frac{2 + 10 + 2}{3} = \frac{14}{3} \end{aligned} \] অর্থাৎ, ভরকেন্দ্র \(= \left(\frac{1}{3}, \frac{14}{3}\right)\)। => **(ii) সঠিক।**

3. কোণ বিশ্লেষণ (সমকোণী ও সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ)

প্রথমে দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি: \[ AB: \quad \text{দৈর্ঘ্য} = \sqrt{(3 - 3)^2 + (10 - 2)^2} = \sqrt{0 + 8^2} = 8 \] \[ BC: \quad \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 10)^2} = \sqrt{(-8)^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \] \[ CA: \quad \sqrt{(-5 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-8)^2 + 0} = 8 \] এখন, কোণ নির্ণয় করি \(\angle ABC\) বা অন্য কোন কোণ। আসুন, \(AB\) ও \(BC\) এর মধ্যে কোণ নির্ণয় করি: বজ্রের সূত্রে, কোণের কোটেশন: \[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AB}||\vec{BC}|} \] \[ \vec{AB} = (0, 8), \quad \vec{BC} = (-8, -8) \] ডট প্রোডাক্ট: \[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = (0)(-8) + (8)(-8) = -64 \] অর্থাৎ, \[ \cos \theta = \frac{-64}{8 \times 8 \sqrt{2}} = \frac{-64}{64 \sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \Rightarrow \theta = 135^\circ \] যেহেতু কোণ \(135^\circ\), যা সমকোণ নয়। তদ্ব্যতীত, কোন বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য বাহুর সাথে সমান নয়, ফলে ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু নয়। এছাড়াও, কোণটি \(135^\circ\), যা সমকোণ নয়। অতএব, **ত্রিভুজটি সমকোণী বা সমদ্বিবাহু নয়।** তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে "ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু"। এই নির্ধারিত তথ্যের ভিত্তিতে, এটি সঠিক নয়। **সুতরাং, iii) ভুল।** ---

উপসংহার:

- ক্ষেত্রফল 32 বর্গ একক → সঠিক। - ভরকেন্দ্র (1/3, 14/3) → সঠিক। - ত্রিভুজটি সমকোণী সমদ্বিবাহু → ভুল। প্রশ্নের উত্তরের জন্য সঠিক উত্তর হবে: **"i ও ii সঠিক, iii ভুল"।** তাই, উপযুক্ত উত্তর: **"i, ii ও iii"** যদি প্রশ্নে বলা হয় যে সবগুলো সঠিক, তবে সেটি ভুল। তবে প্রশ্নে উল্লেখ আছে "নিচের কোনটি সঠিক?" এবং উত্তর হিসেবে "i, ii ও iii" দেওয়া হয়েছে। অতএব, পুরোপুরি বিশ্লেষণ করে বলি: ```html

সমাধান

প্রথমত, ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

Area = ½ |x₁(y₂ - y₃) + x₂(y₃ - y₁) + x₃(y₁ - y₂)| 
= ½ |3(10 - 2) + 3(2 - 2) + (-5)(2 - 10)| 
= ½ |24 + 0 + 40| = 32

অর্থাৎ, (i) সঠিক।

দ্বিতীয়ত, ভরকেন্দ্র নির্ণয়:

G_x = (3 + 3 + (-5))/3 = 1/3
G_y = (2 + 10 + 2)/3 = 14/3

অর্থাৎ, (ii) সঠিক।

তৃতীয়ত, কোণ বিশ্লেষণ:

AB = 8, BC = 8√2, CA = 8
<|vq_clip_12474|><|vq_clip_13883|><|vq_clip_14672|><|vq_clip_6455|><|vq_clip_12391|><|vq_clip_10656|><|vq_clip_2108|><|vq_clip_14706|><|vq_clip_13321|><|vq_clip_5550|><|vq_clip_9278|><|vq_clip_769|><|vq_clip_7308|><|vq_clip_10712|><|vq_clip_15397|><|vq_clip_6445|><|vq_clip_10709|><|vq_clip_2414|><|vq_clip_11478|><|vq_clip_1165|><|vq_clip_8702|><|vq_clip_866|><|vq_clip_16278|><|vq_clip_10744|><|vq_clip_15769|><|vq_clip_7548|><|vq_clip_13867|><|vq_clip_1269|><|vq_clip_16273|><|vq_clip_13463|><|vq_clip_15300|><|vq_clip_16022|><|vq_clip_1055|><|vq_clip_3019|><|vq_clip_12345|><|vq_clip_13290|><|vq_clip_15480|><|vq_clip_972|><|vq_clip_2232|><|vq_clip_6669|><|vq_clip_15072|><|vq_clip_9350|><|vq_clip_12018|><|vq_clip_14451|><|vq_clip_16173|><|vq_clip_15568|><|vq_clip_153|><|vq_clip_5472|><|vq_clip_14637|><|vq_clip_14778|><|vq_clip_851|><|vq_clip_10792|><|vq_clip_10122|><|vq_clip_14486|><|vq_clip_3776|><|vq_clip_8614|><|vq_clip_14351|><|vq_clip_15109|><|vq_clip_10471|><|vq_clip_15622|><|vq_clip_7768|><|vq_clip_15856|><|vq_clip_2692|><|vq_clip_3410|>{" "} 

এখানে কোণের মান 135°, যা সমকোণ নয়। তাই ত্রিভুজটি সমকোণী নয়।

অতএব, একসাথে বলা যায়:

• i সঠিক।
• ii সঠিক।
• iii ভুল।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো: কোনও অপশন উল্লেখ না থাকলেও, উপরে বিশ্লেষণে i ও ii সঠিক, iii ভুল।

```