একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু সমূহের পোলার স্থানাংক যথাক্রমে পোল, (√2, π/4) ও (2, π/3) হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? 

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলোর পোলার স্থানাঙ্ক:

1. পোল বা মূলবিন্দু (0, 0)
2. \(A = (\sqrt{2}, \frac{\pi}{4})\)
3. \(B = (2, \frac{\pi}{3})\)

পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে পরিবর্তন করি:

\(A = (r_1\cos\theta_1, r_1\sin\theta_1) = (\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{4}, \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}, \sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}) = (1, 1)\)

\(B = (r_2\cos\theta_2, r_2\sin\theta_2) = (2\cos\frac{\pi}{3}, 2\sin\frac{\pi}{3}) = (2\cdot\frac{1}{2}, 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}) = (1, \sqrt{3})\)

সুতরাং, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো: (0, 0), (1, 1) এবং (1, \(\sqrt{3}\)).

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে:

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)

এখানে, \((x_1, y_1) = (0, 0)\), \((x_2, y_2) = (1, 1)\), \((x_3, y_3) = (1, \sqrt{3})\)

ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |0(1 - \sqrt{3}) + 1(\sqrt{3} - 0) + 1(0 - 1)|\)

= \(\frac{1}{2} |\sqrt{3} - 1|\)

= \(\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 1)\) [ যেহেতু \(\sqrt{3} > 1\), তাই পরম মান চিহ্ন সরানো হলো ]

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2} (\sqrt{3} - 1)\) বর্গ একক। 🎉