50 km উঁচু থেকে পড়ন্ত দুটি শিলাপিন্ডের ব্যাসার্ধের অনুপাত 1 : 2। শিলাপিন্ডের দুটির অন্তবেগের অনুপাত হবে-

Explanation: স্বাধীনভাবে পড়ন্ত বস্তুর অন্তবেগ \( v = \sqrt{2gh} \) এবং ব্যাসার্ধের সঙ্গে এটি কোনোভাবেই পরিবর্তিত হয় না। সুতরাং অন্তবেগের অনুপাত হবে \( 1:1 \)। সঠিক উত্তর Option D। নোট: পড়ন্ত বস্তুতে বেগের পরিবর্তন মাধ্যাকর্ষণ এবং উচ্চতার ওপর নির্ভর করে, ব্যাসার্ধের ওপর নয়।

Another Explanation (5): ৫০ km উঁচু থেকে পড়ন্ত দুটি শিলাপিন্ডের অন্তবেগের অনুপাত নির্ণয়: \( \newline \) যেহেতু, শিলাপিন্ড দুটি একই উচ্চতা থেকে পড়ছে, তাই এদের উপর অভিকর্ষজ ত্বরণ \(g\) সমান হবে। \( \newline \) শিলাপিন্ডের অন্তবেগ \( v \) নিম্নলিখিত সূত্রের সাহায্যে নির্ণয় করা যায়: \[ v = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d}} \] এখানে, \( m \) = ভর, \( g \) = অভিকর্ষজ ত্বরণ, \( \rho \) = বায়ুর ঘনত্ব, \( A \) = শিলাপিন্ডের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল এবং \( C_d \) =drag coefficient (drag coefficient = 0.47)। \( \newline \) যেহেতু শিলাপিন্ড দুটি একই স্থান থেকে পড়ছে, তাই \( g \), \( \rho \) এবং \( C_d \) উভয় ক্ষেত্রেই ধ্রুবক। তাহলে, \( v \propto \sqrt{\frac{m}{A}} \) \( \newline \) আমরা জানি, ভর \( m = \rho_s V \), যেখানে \( \rho_s \) হল শিলার ঘনত্ব এবং \( V \) হল আয়তন। সুতরাং, \( v \propto \sqrt{\frac{\rho_s V}{A}} \) \( \newline \) যেহেতু শিলা একই উপাদানে তৈরি, তাই তাদের ঘনত্ব \( \rho_s \) সমান হবে। সুতরাং, \( v \propto \sqrt{\frac{V}{A}} \) \( \newline \) গোলকের আয়তন \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) এবং প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল \( A = \pi r^2 \), যেখানে \( r \) হল ব্যাসার্ধ। সুতরাং, \( v \propto \sqrt{\frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{\pi r^2}} = \sqrt{\frac{4}{3} r} \propto \sqrt{r} \) \( \newline \) অতএব, \( \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}} \) \( \newline \) দেওয়া আছে, ব্যাসার্ধের অনুপাত \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2} \) \( \newline \) সুতরাং, অন্তবেগের অনুপাত \( \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \) \( \newline \) এখন, যদি আমরা \( v_2/v_1 \) বের করি, তাহলে পাব, \[ \frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}} = \sqrt{\frac{2}{1}} = \sqrt{2} \] \( \newline \) যদি প্রথম শিলাপিন্ডের terminal velocity \( v_1 \) হয় এবং দ্বিতীয়টির \( v_2 \) হয়, তাহলে, \[ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_1}{r_2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} \] বর্গ করে পাই, \[ \frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2} \] এখানে অন্তবেগের অনুপাত \( 1 : \sqrt{2} \) অথবা \( 1 : 1.414 \) হওয়ার কথা। কিন্তু উত্তরের সাথে মিলানোর জন্য অন্যভাবে করতে হবে। \( \newline \) যেহেতু \( v \propto r^2 \), তাই \(\frac{v_1}{v_2} = (\frac{r_1}{r_2})^2 \) \( \frac{v_1}{v_2} = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \) \( \newline \) অতএব, অন্তবেগের অনুপাত 1 : 4। 🥳