1,2,3,4,5,6 ও 7 থেকে পুনরাবৃত্তি ছাড়া তিন অংকের সংখ্যা গঠন করা হলে, কয়টি সংখ্যার মান 100 থেকে 500 এর মধ্যে?

সমাধান:

প্রথমে, আমাদের তিন অংকের সংখ্যাগুলো তৈরি করতে হবে যেখানে অংকগুলো 1, 2, 3, 4, 5, 6 ও 7 থেকে নেওয়া হবে এবং পুনরাবৃত্তি হবে না।

ধাপ 1: সম্ভাব্য অংক নির্বাচন

• শুরুতে অংকটি 0 হতে পারে না কারণ এটি তিন অংকের সংখ্যা। তবে এখানে 0 দেওয়া হয়নি, তাই সব অংকই 1 থেকে 7 এর মধ্যে।

ধাপ 2: তিন অংকের সংখ্যার মান 100 থেকে 500 এর মধ্যে হতে হবে।

অর্থাৎ, সংখ্যাগুলোর মান 100 ≤ সংখ্যাটি ≤ 500।

অংকের অবস্থান অনুযায়ী:
Number = \(\text{hundreds} \times 100 + \text{tens} \times 10 + \text{units}\)

ধাপ 3: সম্ভাব্য অংকগুলো নির্ণয়

• শুরুতে অংকটি (হান্ড্রেড অংক): 1 থেকে 7 এর মধ্যে। তবে, মান 100 থেকে 500 এর মধ্যে থাকতে হবে।
• 100 থেকে 500 এর মধ্যে সংখ্যা মানের জন্য, হান্ড্রেড অংকটি অবশ্যই 1, 2, 3, 4 বা 5 হতে পারে, কারণ:
  • यदि हंड্রেড অংক 6 বা 7 হলে, সংখ্যা 600 বা 700 হবে, যা 500 এর বেশি।
  • অতএব, হান্ড্রেড অংক: 1, 2, 3, 4, 5

ধাপ 4: অন্য অংকগুলো নির্ণয়

• অংকগুলো পুনরাবৃত্তি হবে না।
• অর্থাৎ, হান্ড্রেড অংক নির্বাচন করার পর, টেন্স ও ইউনিট অংকগুলো অন্য অংক হতে হবে।

ধাপ 5: গণনা

প্রতিটি হান্ড্রেডের জন্য সম্ভাব্য অংক গুলো নির্বাচন করি:

ধাপ 6: গণনা অনুযায়ী

প্রতিটি হান্ড্রেড অংকের জন্য, টেন্স ও ইউনিট অংক নির্বাচন করতে হবে, যেখানে অংকগুলো পুনরাবৃত্তি হবে না।

অতএব, প্রতিটি হান্ড্রেডের জন্য সম্ভাব্য সংখ্যা:

• প্রথম অংক (A): 5টি (1, 2, 3, 4, 5)
• দ্বিতীয় অংক (B): 6টি (অসংখ্য অংক, কারণ 7 বাদে 1 থেকে 7 এর মধ্যে অন্য অংক)
• তৃতীয় অংক (C): 5টি (অন্য অংক, কারণ প্রথম দুটি অংক ব্যতীত)

ধাপ 7: মোট সম্ভাব্য সংখ্যাগুলোর সংখ্যা গণনা

প্রতিটি হান্ড্রেড অংকের জন্য সম্ভাব্য সংখ্যাগুলোর সংখ্যা:

• প্রথম অংক: 5 (1 থেকে 5)
• দ্বিতীয় অংক: 6 (অন্য 6 অংক, কারণ পুনরাবৃত্তি নয়)
• তৃতীয় অংক: 5 (অন্য 5 অংক, কারণ পুনরাবৃত্তি নয়)

সুতরাং, মোট সংখ্যা:

Total = 5 × 6 × 5 = 150

ধাপ 8: সংখ্যাগুলোর মধ্যে 100 থেকে 500 এর মধ্যে কতগুলো?

শর্ত অনুযায়ী, প্রথম অংক 1 থেকে 5, যা ইতিমধ্যে মানের মধ্যে পড়ে।

তবে, লক্ষ্য করা উচিত যে, হান্ড্রেড অংক যদি 5 হয়, তাহলে সংখ্যা 500 এর সমান হবে।

প্রতিটি সংখ্যার মান 100 থেকে 500 এর মধ্যে পড়বে যতক্ষণ না সংখ্যাটি 500 এর সমান হয়।

কিন্তু, numbers with hundreds digit 5, মান 500 বা তার বেশি হতে পারে। কারণ, 500 মানটি অন্তর্ভুক্ত।

অতএব, সব সম্ভাব্য সংখ্যাগুলোর মধ্যে 100 থেকে 499 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোই গণনা করব।

ধাপ 9: গণনাটি সংশোধন

প্রথম অংক 5 হলে, সংখ্যাগুলোর মান 500 বা তার বেশি হবে। তবে, সংখ্যাটির মান 500 এর সমান হওয়ায়, সেটিও গণনায় অন্তর্ভুক্ত।

তাই, মোট সম্ভাব্য সংখ্যাগুলোর সংখ্যা হলো 150।

উপসংহার:

সুতরাং, 100 থেকে 500 এর মধ্যে মোট তিন অংকের সংখ্যা, যেখানে অংকগুলো 1 থেকে 7 থেকে নেওয়া হয়েছে এবং পুনরাবৃত্তি হয়নি, তার সংখ্যা হলো 120।

উত্তর: 120