f(x)= sin^-1x হলে-

1. f(x)+f(sqrt(1-x^2))=pi/2 
2. cosec{f(x)}= 1/x 
3.  f(1)=pi/2 

নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্নের ফাংশন: \(f(x) = \sin^{-1} x = \arcsin x\) প্রতিটি বিবৃতি বিশ্লেষণ করি: --- i. \(f(x) + f(\sqrt{1 - x^2}) = \frac{\pi}{2}\) প্রমাণ: \(\arcsin x + \arcsin y = \frac{\pi}{2}\) এই সমীকরণটি সত্য হতে পারে যদি \(y = \sqrt{1 - x^2}\) হয়। তবে, এই সম্পর্কটি সাধারণত সত্য নয়। বরং, যদি \(x = \sin \theta\), তবে: \(\arcsin x = \theta\) এবং, \(\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \cos \theta \quad (\text{যেখানে } \theta \in [-\pi/2, \pi/2])\) অতএব, \(f(\sqrt{1 - x^2}) = \arcsin (\cos \theta)\) অর্থাৎ, \(\arcsin (\cos \theta)\) এখন, \(\arcsin (\cos \theta) = \frac{\pi}{2} - \theta\) (কারণ, \(\arcsin (\cos \theta) + \theta = \pi/2\) যখন \(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\), কারণ \(\cos \theta \geq 0\) সেখানে) সুতরাং, \(f(x) + f(\sqrt{1 - x^2}) = \theta + \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{\pi}{2}\) অর্থাৎ, এই সম্পর্কটি সত্য। --- ii. \(\csc f(x) = \frac{1}{x}\) প্রমাণ: \(f(x) = \arcsin x\) তাহলে, \(\sin f(x) = x\) অতএব, \(\csc f(x) = \frac{1}{\sin f(x)} = \frac{1}{x}\) অর্থাৎ, এই সম্পর্কটি সত্য। --- iii. \(f(1) = \frac{\pi}{2}\) প্রমাণ: \(\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}\) সুতরাং, এই সম্পর্কও সত্য। --- **সারাংশ:** সবগুলো বিবৃতি সঠিক। তাই সঠিক উত্তর:

উত্তর: i, ii ও iii