f(x)=tan^-1x হলে-

1. f(1)=π/4 

   
   
2. 
   f(1/2)+f(1/3)=π/4
   
3. 
   f(2x)=cos^-1 ((1-x^2)/(1+x^2))

নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:

1. প্রথম প্রশ্নে:
   f(x) = \(\tan^{-1} x\) হলে, f(1) = \(\tan^{-1} 1\)।

   এখানে, \(\tan^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}\)। কারণ, \(\tan \frac{\pi}{4} = 1\)।

   অতএব, প্রথমটি সঠিক.

2. দ্বিতীয় প্রশ্নে: f(1/2) + f(1/3) = \(\tan^{-1} \frac{1}{2} + \tan^{-1} \frac{1}{3}\)।

   আমরা জানি যে, \(\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} \left( \frac{a + b}{1 - ab} \right)\), যদি \(ab < 1\)।

   এখানে, \(a = \frac{1}{2}\), \(b = \frac{1}{3}\)।

   তাহলে, \[ \begin{aligned} f(1/2) + f(1/3) &= \tan^{-1} \left( \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}} \right) \\ &= \tan^{-1} \left( \frac{\frac{3}{6} + \frac{2}{6}}{1 - \frac{1}{6}} \right) \\ &= \tan^{-1} \left( \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} \right) \\ &= \tan^{-1} 1 \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned} \]

   অতএব, দ্বিতীয়টি সঠিক.

3. তৃতীয় প্রশ্নে: f(2x) = \(\cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right)\)।

   আমরা জানি যে, \(\tan^{-1} x + \tan^{-1} \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\), যখন \(x > 0\)।

   এছাড়া, পরিচিত সমীকরণ হলো: \[ \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \]

   যদি \(\theta = \tan^{-1} x\), তাহলে, \[ \cos 2\theta = \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \] এবং, \[ 2\theta = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right) \] অতএব, \[ \theta = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right) \] এখানে, \(\theta = \tan^{-1} x\), তাই, \[ f(x) = \tan^{-1} x = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right) \] এবং, \[ f(2x) = \tan^{-1} (2x) \] তাই, \[ f(2x) = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1 - (2x)^2}{1 + (2x)^2} \right) = \frac{1}{2} \cos^{-1} \left( \frac{1 - 4x^2}{1 + 4x^2} \right) \] অতএব, প্রদত্ত সমীকরণটি সঠিক নয়। কারণ, এটি একটি আলাদা সম্পর্ক সৃষ্টি করে, যা মূল \(\tan^{-1}\) ফাংশনের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়।

   অতএব, তৃতীয়টি ভুল।

সারসংক্ষেপ:

প্রথম ও দ্বিতীয়টি সঠিক, তাই উত্তর হলো: i ও ii