int_0^4sqrt(3x+4dx)=?

আমরা \( \int_0^4 \sqrt{3x+4} \, dx \) এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, \( u = 3x+4 \)

তাহলে, \( du = 3 \, dx \Rightarrow dx = \frac{1}{3} \, du \)

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 3(0) + 4 = 4 \)

যখন \( x = 4 \), তখন \( u = 3(4) + 4 = 16 \)

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_4^{16} \sqrt{u} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int_4^{16} u^{\frac{1}{2}} \, du \)

এখন, ইন্টিগ্রেশন করি:

\( \frac{1}{3} \left[ \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} \right]_4^{16} = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_4^{16} = \frac{2}{9} \left[ u^{\frac{3}{2}} \right]_4^{16} \)

মান বসিয়ে পাই:

\( \frac{2}{9} \left[ (16)^{\frac{3}{2}} - (4)^{\frac{3}{2}} \right] = \frac{2}{9} \left[ (4^2)^{\frac{3}{2}} - (2^2)^{\frac{3}{2}} \right] = \frac{2}{9} \left[ 4^3 - 2^3 \right] \)

\( = \frac{2}{9} \left[ 64 - 8 \right] = \frac{2}{9} \cdot 56 = \frac{112}{9} \)

অতএব, \( \int_0^4 \sqrt{3x+4} \, dx = \frac{112}{9} \)