P, Q, R ধ্রুবক এবং  (3x^2-5x+4)/((x-1)(x^2-1) ) = P/(x-1) + (Qx+R)/(x^2+1) হলে, R= কত?

প্রশ্ন: P, Q, R ধ্রুবক এবং \(\frac{3x^2-5x+4}{(x-1)(x^2+1)} = \frac{P}{x-1} + \frac{Qx+R}{x^2+1}\) হলে, R= কত?

সমাধান:

প্রথমে, আমরা উভয় পার্শকে \((x-1)(x^2+1)\) দিয়ে গুণ করে পাই:

\(3x^2 - 5x + 4 = P(x^2+1) + (Qx+R)(x-1)\)

\(\implies 3x^2 - 5x + 4 = Px^2 + P + Qx^2 - Qx + Rx - R\)

\(\implies 3x^2 - 5x + 4 = (P+Q)x^2 + (R-Q)x + (P-R)\)

এখন, উভয় পাশের সহগ তুলনা করে পাই:

\(x^2\) এর সহগ: \(P+Q = 3\) ...(1)

\(x\) এর সহগ: \(R-Q = -5\) ...(2)

ধ্রুবক পদ: \(P-R = 4\) ...(3)

এখন, \(x = 1\) বসালে পাই,

\(3(1)^2 - 5(1) + 4 = P(1^2+1) + (Q(1)+R)(1-1)\)

\(3 - 5 + 4 = 2P + 0\)

\(2 = 2P\)

\(P = 1\)

এখন (1) নং সমীকরণ থেকে পাই,

\(1+Q = 3\)

\(Q = 2\)

এখন (2) নং সমীকরণ থেকে পাই,

\(R - 2 = -5\)

\(R = -5 + 2\)

\(R = -3\)

অতএব, R = -3। 🎉