x^2/16+y^2/25=1 উপবৃত্তের ফোকাসদ্বয় ও 2x²+2y²+12x-16y-13=0 বৃত্তর কেন্দ্র দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

Explanation:

Another Explanation (5): উপবৃত্তের সমীকরণ: \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1\) এখানে, \(a^2 = 16\) এবং \(b^2 = 25\). যেহেতু \(b^2 > a^2\), উপবৃত্তটি y-অক্ষের দিকে প্রসারিত। \(c^2 = b^2 - a^2 = 25 - 16 = 9\) অতএব, \(c = 3\). উপবৃত্তের ফোকাসদ্বয় \(F_1(0, 3)\) এবং \(F_2(0, -3)\). বৃত্তের সমীকরণ: \(2x^2 + 2y^2 + 12x - 16y - 13 = 0\) সমীকরণটিকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাই, \(x^2 + y^2 + 6x - 8y - \frac{13}{2} = 0\) বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয়ের জন্য, \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) আকারে প্রকাশ করি। সাধারণ সমীকরণ \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\) এর সাথে তুলনা করে পাই, \(2g = 6 \Rightarrow g = 3\) \(2f = -8 \Rightarrow f = -4\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(C(-g, -f) = (-3, 4)\). এখন, \(F_1(0, 3)\), \(F_2(0, -3)\) এবং \(C(-3, 4)\) এই তিনটি বিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে: ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\) এখানে, \( (x_1, y_1) = (0, 3) \), \( (x_2, y_2) = (0, -3) \) এবং \( (x_3, y_3) = (-3, 4) \). ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |0(-3 - 4) + 0(4 - 3) + (-3)(3 - (-3))|\) \( = \frac{1}{2} |0 + 0 - 3(6)|\) \( = \frac{1}{2} |-18|\) \( = \frac{1}{2} \times 18\) \( = 9\) বর্গ একক। সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 9 বর্গ একক। 🎉