9(x-2)²+25(y-3)²=225 উপবৃত্তের ফোকাসদ্বয় ও মুলবিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নীচের কোনটি?

উপবৃত্তের ফোকাসদ্বয় ও মূলবিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

প্রদত্ত উপবৃত্তের সমীকরণ: \(9(x-2)^2 + 25(y-3)^2 = 225\)
উভয় পক্ষকে 225 দিয়ে ভাগ করে পাই,
\(\frac{(x-2)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{9} = 1\)
সুতরাং, এটি \(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\) আকারের উপবৃত্ত, যেখানে কেন্দ্র \((h, k) = (2, 3)\), \(a^2 = 25\) এবং \(b^2 = 9\)।
অতএব, \(a = 5\) এবং \(b = 3\)।

উৎকেন্দ্রতা \(e\) নির্ণয়: \(b^2 = a^2(1 - e^2)\)
বা, \(9 = 25(1 - e^2)\)
বা, \(1 - e^2 = \frac{9}{25}\)
বা, \(e^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)
সুতরাং, \(e = \frac{4}{5}\)

উপবৃত্তের ফোকাসদ্বয় \((h \pm ae, k)\) হবে।
ফোকাসদ্বয় \((2 \pm 5 \cdot \frac{4}{5}, 3) = (2 \pm 4, 3)\)
সুতরাং, ফোকাসদ্বয়ের স্থানাঙ্ক \((6, 3)\) এবং \((-2, 3)\)।

এখন, ফোকাসদ্বয় \((6, 3)\), \((-2, 3)\) এবং মূলবিন্দু \((0, 0)\) দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = \(\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|\)
= \(\frac{1}{2} |6(3 - 0) + (-2)(0 - 3) + 0(3 - 3)|\)
= \(\frac{1}{2} |18 + 6 + 0|\)
= \(\frac{1}{2} |24|\)
= \(12\) বর্গ একক। 🎉

সুতরাং, নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 12 বর্গ একক। ✅