(-2,-5) বিন্দুগামী কোন সরলরেখা x ও y অক্ষকে যথাক্রমে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে যেন OA+2OB=0 হয় যেখানে O মুলবিন্দু। OAB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত বর্গএকক? 

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

সমাধান:

দেওয়া আছে, সরলরেখাটি \( (-2, -5) \) বিন্দুগামী। ধরি, সরলরেখাটি x-অক্ষকে \( A(a, 0) \) বিন্দুতে এবং y-অক্ষকে \( B(0, b) \) বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, \( OA = |a| \) এবং \( OB = |b| \)।

শর্তানুসারে, \( OA + 2OB = 0 \)। সুতরাং, \( |a| + 2|b| = 0 \)। যেহেতু \( OA \) এবং \( OB \) এর দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই \( a \) এবং \( b \) এর চিহ্ন ভিন্ন হতে হবে।

সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়:

সরলরেখাটির সমীকরণ হবে:

\[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \]

যেহেতু \( (-2, -5) \) বিন্দুটি সরলরেখার উপর অবস্থিত, তাই:

\[ \frac{-2}{a} + \frac{-5}{b} = 1 \] \[ \Rightarrow \frac{-2}{a} = 1 + \frac{5}{b} \] \[ \Rightarrow \frac{-2}{a} = \frac{b+5}{b} \] \[ \Rightarrow a = \frac{-2b}{b+5} \]

আবার, \( OA + 2OB = 0 \) থেকে পাই, \( |a| + 2|b| = 0 \)। যেহেতু \( (-2, -5) \) তৃতীয় চতুর???ভাগে অবস্থিত, তাই \( a < 0 \) এবং \( b < 0 \) হবে। সুতরাং, \( a = -2b/(b+5) \) থেকে আমরা \( |a| = -a \) এবং \( |b| = -b \) লিখতে পারি।

অতএব, \( -a - 2b = 0 \) বা \( a = -2b \)।

এখন, \( a = \frac{-2b}{b+5} \) সমীকরণে \( a = -2b \) বসিয়ে পাই:

\[ -2b = \frac{-2b}{b+5} \] \[ \Rightarrow -2b(b+5) = -2b \] \[ \Rightarrow -2b^2 - 10b + 2b = 0 \] \[ \Rightarrow -2b^2 - 8b = 0 \] \[ \Rightarrow -2b(b+4) = 0 \] সুতরাং, \( b = 0 \) অথবা \( b = -4 \)। কিন্তু \( b = 0 \) হতে পারে না, তাই \( b = -4 \)। এখন, \( a = -2b = -2(-4) = 8 \)। অতএব, \( A(8, 0) \) এবং \( B(0, -4) \)। OAB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল: \[ \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times |8| \times |-4| = \frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16 \]

সুতরাং, OAB ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 16 বর্গএকক। 🎉

```