y²=4x+4y-8  পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য একটি ত্রিভুজের বাহু হলে এবং বাহু সংলগ্ন কোণদ্বয় 45° হলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, পরাবৃত্তের সমীকরণ: \(y^2 = 4x + 4y - 8\) প্রথমে, সমীকরণটিকে পরাবৃত্তের সাধারণ আকারে আনা যাক: \(y^2 - 4y = 4x - 8\) \((y^2 - 4y + 4) = 4x - 8 + 4\) \((y - 2)^2 = 4x - 4\) \((y - 2)^2 = 4(x - 1)\) এটি \((y - k)^2 = 4a(x - h)\) আকারের পরাবৃত্ত, যেখানে \(h = 1\), \(k = 2\) এবং \(4a = 4\) অর্থাৎ \(a = 1\). পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(4a = 4 \). সুতরাং, ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য 4 একক। ধরি, বাহুটি \(b\), তাহলে \(b = 4\). বাহু সংলগ্ন কোণ দুটি \(45^\circ\). ধরি, কোণ দুটি \(A = 45^\circ\) এবং \(C = 45^\circ\). ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র: ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} b^2 \frac{\sin A \sin C}{\sin B}\) যেহেতু \(A + B + C = 180^\circ\), সুতরাং \(B = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 90^\circ\). ক্ষেত্রফল \(= \frac{1}{2} \times 4^2 \times \frac{\sin 45^\circ \times \sin 45^\circ}{\sin 90^\circ}\) \(= \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}}{1}\) \(= 8 \times \frac{1}{2} = 4\) অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 4 বর্গ একক। 🎉