tan^-11+tan^-12+tan^-13  এর মান কত?

দেওয়া আছে, \(tan^{-1}1 + tan^{-1}2 + tan^{-1}3\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \(tan^{-1}x + tan^{-1}y = tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})\)

তাহলে, \(tan^{-1}1 + tan^{-1}2 = tan^{-1}(\frac{1+2}{1-1\cdot2}) = tan^{-1}(\frac{3}{-1}) = tan^{-1}(-3)\)

সুতরাং, \(tan^{-1}1 + tan^{-1}2 + tan^{-1}3 = tan^{-1}(-3) + tan^{-1}3\)

আবার, \(tan^{-1}(-x) = -tan^{-1}x\) এই সূত্রানুসারে, \(tan^{-1}(-3) = -tan^{-1}3\)

সুতরাং, \(tan^{-1}(-3) + tan^{-1}3 = -tan^{-1}3 + tan^{-1}3 = 0\), যদি \(tan^{-1}(-3)\) এবং \(tan^{-1}3\) একই range এ থাকে।

কিন্তু এখানে, \(tan^{-1}2 + tan^{-1}3 = tan^{-1}(\frac{2+3}{1-2\cdot3}) = tan^{-1}(\frac{5}{-5}) = tan^{-1}(-1)\)

আমরা জানি, \(tan^{-1}1 = \frac{\pi}{4}\)

এখন, \(tan^{-1}2 + tan^{-1}3\) এর মান \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) এর মধ্যে নেই।

আমরা জানি, যদি xy > 1 হয় তবে,

\(tan^{-1}x + tan^{-1}y = \pi + tan^{-1}(\frac{x+y}{1-xy})\), যদি x > 0, y > 0 হয়।

এখানে, 2*3 = 6 > 1 এবং 2 > 0, 3 > 0। সুতরাং,

\(tan^{-1}2 + tan^{-1}3 = \pi + tan^{-1}(\frac{2+3}{1-2*3}) = \pi + tan^{-1}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}\)

সুতরাং, \(tan^{-1}1 + tan^{-1}2 + tan^{-1}3 = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi\)

অতএব, \(tan^{-1}1 + tan^{-1}2 + tan^{-1}3 = \pi\)

👉সুতরাং নির্ণেয় মান π।🥳