\( \tan 75^\circ - \tan 30^\circ - \tan 75^\circ \tan 30^\circ \) সমান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: \( \tan 75^\circ - \tan 30^\circ - \tan 75^\circ \tan 30^\circ \)

প্রথমে, আমাদের জানা প্রয়োজন:

• \( \tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \)
• \( \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

এখন, প্রশ্নের মান নির্ণয় করি:

\[ \begin{aligned} & \tan 75^\circ - \tan 30^\circ - \tan 75^\circ \tan 30^\circ \\ = & (2 + \sqrt{3}) - \frac{1}{\sqrt{3}} - (2 + \sqrt{3}) \times \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]

চলুন প্রথম দুইটি অংশ যোগ করি:

\[ (2 + \sqrt{3}) - \frac{1}{\sqrt{3}} \]

এখন, \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) কে রৈখিক রুপে লিখি:

\[ = 2 + \sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}} \]

তবে, \(\tan 75^\circ\) এর মানের জন্য, এটি আরেকটি সহজ রূপে লেখা যায়:

আমরা জানি:

• \( \tan 75^\circ = \tan (45^\circ + 30^\circ) \)

এবং, তফাতের সূত্র অনুসারে:

\[ \begin{aligned} \tan (A + B) &= \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \end{aligned} \]

অতএব, \(\tan 75^\circ\) এর মান:

\[ \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ} = \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \]

আর, \(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1}\) কে রিডাক্স করি:

\[ \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} \]

অতএব, \(\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}\) (যা আগেই জানানো হয়েছিল)।

এখন, মূল মানের মধ্যে ফিরে যাই:

\[ \begin{aligned} & (2 + \sqrt{3}) - \frac{1}{\sqrt{3}} - (2 + \sqrt{3}) \times \frac{1}{\sqrt{3}} \\ = & (2 + \sqrt{3}) - \frac{1}{\sqrt{3}} - \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \end{aligned} \]

এখন, প্রথম দুইটি টার্মের সমন্বয় করি:

\[ (2 + \sqrt{3}) - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{3}) \times \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}} \]

এবং, তৃতীয় টার্মটি রূপান্তর করি:

\[ \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} + 1 \]

অতএব, মূল মান হল:

\[ \frac{2\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}} - \left(\frac{2}{\sqrt{3}} + 1\right) = \frac{2\sqrt{3} + 2 - 2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1 \]

উত্তর:

সুতরাং,

\( \tan 75^\circ - \tan 30^\circ - \tan 75^\circ \tan 30^\circ = 1 \)