Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্নে দেওয়া:
\[
\frac{1 - \tan^2(45^\circ + x)}{1 + \tan^2(45^\circ + x)}
\]
আমরা জানি, \(\tan(45^\circ + x)\) এর জন্য একটি পরিচিত সূত্র:
\[
\tan(45^\circ + x) = \frac{\tan 45^\circ + \tan x}{1 - \tan 45^\circ \tan x} = \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}
\]
এখন, \( \tan^2(45^\circ + x) \):
\[
\tan^2(45^\circ + x) = \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2
\]
এখন, মূল এক্সপ্রেশনের নামকরণ করি:
\[
E = \frac{1 - \tan^2(45^\circ + x)}{1 + \tan^2(45^\circ + x)}
\]
প্রতিস্থাপন করি:
\[
E = \frac{1 - \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2}{1 + \left(\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}\right)^2}
\]
সাধারনত, একটি সাধারণ রূপে আনতে:
\[
E = \frac{\frac{(1 - \tan x)^2 - (1 + \tan x)^2}{(1 - \tan x)^2}}{\frac{(1 - \tan x)^2 + (1 + \tan x)^2}{(1 - \tan x)^2}}
\]
উভয় অংশের নীচের অংশ হলো সমান, সুতরাং:
\[
E = \frac{(1 - \tan x)^2 - (1 + \tan x)^2}{(1 - \tan x)^2 + (1 + \tan x)^2}
\]
এখন, উভয় গুণফল খুলি:
\[
(1 - \tan x)^2 = 1 - 2 \tan x + \tan^2 x
\]
\[
(1 + \tan x)^2 = 1 + 2 \tan x + \tan^2 x
\]
অতএব,
\[
E = \frac{\left(1 - 2 \tan x + \tan^2 x\right) - \left(1 + 2 \tan x + \tan^2 x\right)}{\left(1 - 2 \tan x + \tan^2 x\right) + \left(1 + 2 \tan x + \tan^2 x\right)}
\]
সরলীকরণ করলে,
উপরের অংশ:
\[
(1 - 2 \tan x + \tan^2 x) - (1 + 2 \tan x + \tan^2 x) = 1 - 2 \tan x + \tan^2 x - 1 - 2 \tan x - \tan^2 x = -4 \tan x
\]
নিচের অংশ:
\[
(1 - 2 \tan x + \tan^2 x) + (1 + 2 \tan x + \tan^2 x) = 1 - 2 \tan x + \tan^2 x + 1 + 2 \tan x + \tan^2 x = 2 + 2 \tan^2 x
\]
অতএব,
\[
E = \frac{-4 \tan x}{2 + 2 \tan^2 x} = \frac{-4 \tan x}{2 (1 + \tan^2 x)} = \frac{-2 \tan x}{1 + \tan^2 x}
\]
আমরা জানি,
\[
1 + \tan^2 x = \sec^2 x
\]
এবং,
\[
\frac{\tan x}{\sec^2 x} = \tan x \cdot \frac{1}{\sec^2 x} = \tan x \cdot \cos^2 x
\]
তাই,
\[
E = -2 \tan x \cdot \frac{1}{\sec^2 x} = -2 \tan x \cos^2 x
\]
আর,
\[
\boxed{
E = -2 \tan x \cos^2 x
}
\]
কিন্তু, লক্ষ্য করুন:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
এবং,
\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]
সুতরাং,
\[
-2 \tan x \cos^2 x = -2 \frac{\sin x}{\cos x} \cos^2 x = -2 \sin x \cos x
\]
অর্থাৎ,
\[
E = -2 \sin x \cos x = - \sin 2x
\]
**অতএব, মূল এক্সপ্রেশনের মান হল:**
\[
\boxed{
\frac{1 - \tan^2(45^\circ + x)}{1 + \tan^2(45^\circ + x)} = - \sin 2x
}
\]
**উত্তর: "- sin 2x"।**
