tanθ = √3 হলে—

1.  sin2θ=sqrt3/2
2.  cos2θ=1/2 
3. tan2θ = -√3

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া হয়েছে: \[ \tan \theta = \sqrt{3} \] এখন, আমরা জানি: \[ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \] এবং এটি থেকে: \[ \sin \theta = \frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{1} \] যেহেতু \(\tan \theta = \sqrt{3}\), তাহলে: \[ \sin \theta = \sqrt{3} \cdot \cos \theta \] আমরা জানি \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), তাই: \[ (\sqrt{3} \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1 \] \[ 3 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \] \[ 4 \cos^2 \theta = 1 \] \[ \cos^2 \theta = \frac{1}{4} \] অর্থাৎ, \[ \cos \theta = \pm \frac{1}{2} \] এবং, \[ \sin \theta = \sqrt{3} \cdot \cos \theta \] অতএব, যদি \(\cos \theta = \frac{1}{2}\), তবে: \[ \sin \theta = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] অথবা, যদি \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), তবে: \[ \sin \theta = \sqrt{3} \times \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] এখন, আমরা \( \sin 2\theta \), \( \cos 2\theta \), ও \( \tan 2\theta \) এর মান নির্ণয় করব। ### প্রথম পরিস্থিতি: \(\cos \theta = \frac{1}{2}\), \(\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) \[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ \tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \] ### দ্বিতীয় পরিস্থিতি: \(\cos \theta = -\frac{1}{2}\), \(\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) \[ \sin 2\theta = 2 \times \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \] \[ \tan 2\theta = \frac{\sin 2\theta}{\cos 2\theta} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}} = -\sqrt{3} \] **নোট:** প্রথম ও দ্বিতীয় পরিস্থিতির ফলাফল একই। ### উপসংহার: \[ \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{(সঠিক)} \\ \cos 2\theta = -\frac{1}{2} \neq \frac{1}{2} \quad \text{(ভুল)} \\ \text{তাই, } \tan 2\theta = -\sqrt{3} \quad \text{(সঠিক)} \] তাই, উপযুক্ত বিকল্প: - (i) \(\sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\) সঠিক - (ii) \(\cos 2\theta = \frac{1}{2}\) ভুল - (iii) \(\tan 2\theta = -\sqrt{3}\) সঠিক অতএব, সঠিক বিকল্প হলো: **i ও iii**। --- **উত্তর:** ```html i ও iii ```