\( \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta \) এর সর্বোচ্চ মান কত?
দেওয়া আছে, \( \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta \)।
আমরা এই রাশিটিকে \( R\sin(\theta + \alpha) \) আকারে প্রকাশ করতে পারি, যেখানে \( R \) একটি ধ্রুবক এবং \( \alpha \) একটি কোণ।
ধরি, \( \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta = R\sin(\theta + \alpha) = R(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) \)
তাহলে, \( \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta = (R\cos\alpha)\sin\theta + (R\sin\alpha)\cos\theta \)
উভয় পাশ তুলনা করে পাই,
\( R\cos\alpha = \sqrt{3} \) ...(1)
\( R\sin\alpha = 1 \) ...(2)
(1) এবং (2) নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করে পাই,
\( R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha = (\sqrt{3})^2 + 1^2 \)
\( R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 3 + 1 \)
\( R^2 = 4 \)
\( R = \sqrt{4} = 2 \) (যেহেতু \( R > 0 \))
সুতরাং, \( \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \alpha) \)
আমরা জানি, \( \sin(\theta + \alpha) \) এর সর্বোচ্চ মান 1।
অতএব, \( 2\sin(\theta + \alpha) \) এর সর্বোচ্চ মা??? \( 2 \times 1 = 2 \)।
সুতরাং, \( \sqrt{3} \sin\theta + \cos\theta \) এর সর্বোচ্চ মান 2। 🎉
```