\( \cos 75^\circ \) এর সঠিক মান --

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \cos 75^\circ \) এর সঠিক মান -- উত্তর: \( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \) সমাধান: আমরা জানি, \[ \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) \] ব্যবহার করি কসমাইন এর যোগফর্ম সূত্র: \[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \] অতএব, \[ \cos 75^\circ = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \] প্রতিটি মান বসাই: \[ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] সুতরাং, \[ \cos 75^\circ = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} \right) \] গুণফলগুলো সহজ করি: \[ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \times 1}{4} \] \[ = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} \] একই নাম্বার দিয়ে ভাগ করি: \[ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \] প্রথমে দেখা যায়, এই মানটি আমাদের মূল উত্তরটির কাছাকাছি। এখন, মূল উত্তরটি হলো: \[ \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} \] আমরা এটিকে রূপান্তর করি যাতে এটি মূল মানের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়। প্রথমে, মূল মানটি গুণ করি \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \) কে \( \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \): \[ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} \times \sqrt{2}) - (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}{4 \times \sqrt{2}} \] গুণফল করি: \[ = \frac{\sqrt{12} - 2}{4 \sqrt{2}} \] জানা যায়, \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2 \sqrt{3} \] অতএব, \[ \cos 75^\circ = \frac{2 \sqrt{3} - 2}{4 \sqrt{2}} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{4 \sqrt{2}} \] সরল করি: \[ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} \] অর্থাৎ, \[ \boxed{ \cos 75^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}} } \]