\( \frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x^2 - 4} \right] = ? \)

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

প্রত্নিধি: \( \frac{d}{dx} \left[ \frac{x^2}{x^2 - 4} \right] = ? \)

উত্তর:

প্রথমে, ফাংশনটি হলো:

\[ f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 4} \] এখানে, আমরা রুল অব ডিফারেনশিয়েশন (quotient rule) ব্যবহার করব। Quotient rule অনুযায়ী:

\[ \frac{d}{dx} \left[\frac{u}{v}\right] = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \] এখানে, \( u = x^2 \) এবং \( v = x^2 - 4 \) প্রথমে, \( du/dx \) ও \( dv/dx \) নির্ণয় করি: \[ \frac{du}{dx} = 2x \] \[ \frac{dv}{dx} = 2x \] এখন, ডেরিভেটিভটি বসাই: \[ \frac{d}{dx} \left[\frac{x^2}{x^2 - 4}\right] = \frac{(x^2 - 4)(2x) - x^2 (2x)}{(x^2 - 4)^2} \] সরলীকরণ করি উপরের অংশ: \[ = \frac{2x(x^2 - 4) - 2x x^2}{(x^2 - 4)^2} \] \[ = \frac{2x x^2 - 8x - 2x x^2}{(x^2 - 4)^2} \] এখানে, \( 2x x^2 \) ও \( - 2x x^2 \) পরস্পর বিপরীত, সুতরাং তারা মিলিয়ে যায়: \[ = \frac{-8x}{(x^2 - 4)^2} \] অতএব, ডেরিভেটিভ হচ্ছে: \[ \boxed{\frac{-8x}{(x^2 - 4)^2}} \]