int(tan^-1x)^2/(1+x^2)dx=? 

প্রশ্ন: \(\int \frac{(\tan^{-1}x)^2}{1+x^2} dx = ?\)

সমাধান:

ধরি, \(u = \tan^{-1}x\)
তাহলে, \(\frac{du}{dx} = \frac{1}{1+x^2}\)
সুতরাং, \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)

এখন, প্রদত্ত ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(\int (\tan^{-1}x)^2 \cdot \frac{1}{1+x^2} dx = \int u^2 du\)

আমরা জানি, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), যেখানে \(C\) একটি সমাকলন ধ্রুবক।

অতএব, \(\int u^2 du = \frac{u^{2+1}}{2+1} + C = \frac{u^3}{3} + C\)

এখন, \(u\) এর মান বসিয়ে পাই:

\(\frac{u^3}{3} + C = \frac{(\tan^{-1}x)^3}{3} + C\)

সুতরাং, \(\int \frac{(\tan^{-1}x)^2}{1+x^2} dx = \frac{(\tan^{-1}x)^3}{3} + C\)

সুতরাং উত্তর: \(\frac{(\tan^{-1}x)^3}{3}\) 🥳