y = (sinx+cosx)/(sqrt(1+sin2x)) হলে dy/dx কত = ?

প্রশ্নের সমাধান:

প্রদত্ত ফাংশন হল:

\( y = \frac{\sin x + \cos x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} \)

ধাপ ১: প্রাথমিক বিশ্লেষণ ও সংশ্লিষ্ট উপাদান

উপরে, \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\)

অতএব, সমাধানে সুবিধার জন্য, ভেরিয়েবল বিভাজন বা ট্রিগোনোমেট্রিক পরিচিতি ব্যবহার করব।

ধাপ ২: ভেরিয়েবল পরিবর্তন

ফাংশনটিকে দুটি অংশে ভাগ করি:

\( u = \sin x + \cos x \)

\( v = \sqrt{1 + \sin 2x} \)

তাহলে,

\( y = \frac{u}{v} \)

ধাপ ৩: ডেরিভেটিভের জন্য সূত্র

প্রতিটি অংশের ডেরিভেটিভ বের করি:

\( \frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2} \)

ধাপ ৪: \(\frac{du}{dx}\) বের করা

\( u = \sin x + \cos x \)

\(\therefore \frac{du}{dx} = \cos x - \sin x \)

ধাপ ৫: \(\frac{dv}{dx}\) বের করা

\( v = \sqrt{1 + \sin 2x} \)

\( v = (1 + \sin 2x)^{0.5} \)

এখন, চেইন রুল ব্যবহার করে:

\( \frac{dv}{dx} = \frac{1}{2} (1 + \sin 2x)^{-0.5} \times 2 \cos 2x \) (কারণ, \(\frac{d}{dx} \sin 2x = 2 \cos 2x \))

সুতরাং,

\( \frac{dv}{dx} = \frac{\cos 2x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} \)

ধাপ ৬: সব ডেরিভেটিভের মান বসানো

তাহলে,

\( \frac{dy}{dx} = \frac{v (\cos x - \sin x) - u \times \frac{\cos 2x}{\sqrt{1 + \sin 2x}}}{v^2} \)

ধাপ ৭: মূল মানে বসানো ও সরলীকরণ

প্রথম, \( u = \sin x + \cos x \), \( v = \sqrt{1 + \sin 2x} \)

এবং, \( v^2 = 1 + \sin 2x \)

অতএব,

\(\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1 + \sin 2x} (\cos x - \sin x) - (\sin x + \cos x) \times \frac{\cos 2x}{\sqrt{1 + \sin 2x}}}{1 + \sin 2x}\)

নিম্নমূলে সাধারণ মানে লেখলে, উপরের দুই অংশের সমন্বয়ে সরলীকরণ সম্ভব।

ধাপ ৮: পরীক্ষামূলক মানে দেখানো

যদি \(x = \frac{\pi}{4}\), তাহলে:

\(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin 2x = \sin \frac{\pi}{2} = 1\)

অতএব,

\( u = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)

\( v = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \)

\( \frac{du}{dx} = \cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} = 0 \)

\( \frac{\cos 2x}{\sqrt{1 + \sin 2x}} = \frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0 \)

তাহলে, \(\frac{dy}{dx} = \frac{v \times 0 - u \times 0}{v^2} = 0\)

সমাপ্তি:

অতএব, সাধারণভাবে, \(\frac{dy}{dx} = 0\)

উত্তর:

\( \boxed{0} \)