3x^2 - kx + 4 = 0 সমীকরণটির একটি মূল অপরটির 3 গুণ হলে, k এর মান-

Another Explanation (5):

সমাধান:

দেওয়া সমীকরণ: \( 3x^2 - kx + 4 = 0 \)

ধরা যাক, এর একটি মূল হলো \( \alpha \), এবং অপর মূল হলো \( \beta \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী, অপর মূলের ৩ গুণ হলো প্রথম মূল অর্থাৎ:

\[ \beta = 3\alpha \]

প্রথমে, সমীকরণের মূলের সম্পর্ক থেকে জানা যায়:

Sum of মূল: \( \alpha + \beta = \frac{k}{3} \)

প্রতিটা মূলের যোগফল সূত্র:

\[ \alpha + \beta = \frac{k}{3} \] এবং, মূলের গুণফল: \[ \alpha \beta = \frac{4}{3} \]

এখন, \( \beta = 3\alpha \) প্রতিস্থাপন করে:

\[ \alpha + 3\alpha = \frac{k}{3} \] \[ 4\alpha = \frac{k}{3} \] \[ \Rightarrow \alpha = \frac{k}{12} \]

মূলের গুণফল থেকে,:

\[ \alpha \beta = \frac{4}{3} \] \[ \Rightarrow \alpha \times 3\alpha = \frac{4}{3} \] \[ 3 \alpha^2 = \frac{4}{3} \] \[ \Rightarrow \alpha^2 = \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \] \[ \Rightarrow \alpha = \pm \frac{2}{3} \]

এখন, প্রথমে ধরি \( \alpha = \frac{2}{3} \):

\[ \frac{k}{12} = \frac{2}{3} \] \[ k = 12 \times \frac{2}{3} = 12 \times \frac{2}{3} = 8 \]

অথবা, \( \alpha = -\frac{2}{3} \):

\[ \frac{k}{12} = -\frac{2}{3} \] \[ k = 12 \times -\frac{2}{3} = -8 \] তাই, দুটি মান পাওয়া যায়: \( k = 8 \) বা \( k = -8 \) প্রশ্নে বলেছে, মূলের একটি অপরটির 3 গুণ, তাই আমরা প্রথম \( \alpha = \frac{2}{3} \) বিবেচনা করলে, \( k=8 \)। এবং অন্যটি হলে, \( k=-8 \)। উত্তর: **\( \boxed{8} \)**