x²+3x+a=0 সমীকরনের মূলদ্বয় পরস্পর উল্টো হলে a এর মান কত? 

সমীকরণ: \( x^2 + 3x + a = 0 \)

ধরা যাক, মূলগুলো হলো \( \alpha \) এবং \( \beta \)।

প্রশ্ন অনুযায়ী, মূলদ্বয় পরস্পর উল্টো। অর্থাৎ,

\( \beta = -\alpha \)

প্রতিটি মূলের সমীকরণে, মূলের যোগফল ও গুণফল ব্যবহার করে:

• মূলের যোগফল: \( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)
• মূলের গুণফল: \( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

এখানে, \( a = 1 \), \( b = 3 \), এবং \( c = a \) (সমীকরণের মূল প্যারামিটার)।

তাহলে:

• যোগফল: \( \alpha + \beta = -\frac{3}{1} = -3 \)
• গুণফল: \( \alpha \beta = \frac{a}{1} = a \)

যেহেতু মূলগুলো পরস্পর উল্টো, অতএব:

\( \beta = -\alpha \)

গুণফল অনুযায়ী:

\( \alpha \times (-\alpha) = -\alpha^2 = a \)

অর্থাৎ:

\( a = -\alpha^2 \)

যোগফল অনুযায়ী:

\( \alpha + \beta = \alpha + (-\alpha) = 0 \)

অতএব, মূলের যোগফল 0 হওয়ায়, মূলগুলো হলো \( \alpha \) এবং \( -\alpha \)।

এখন, মূলের গুণফল থেকে:

\( a = -\alpha^2 \)

আমাদের মূলগুলোর যোগফল 0 থেকে, মূলের গুণফল ও যোগফল সম্পর্ক অনুযায়ী:

মূলের গুণফল: \( a = -\alpha^2 \)

এখন, মূলগুলো বাস্তব হলে, \(\alpha\) কোন সংখ্যা হতে পারে।

প্রথমত, মূলগুলো পরস্পর উল্টো, তাই মূলদ্বয় হলো \( \alpha \) এবং \( -\alpha \)।

এবং, মূলের যোগফল 0 হলে, মূলের গুণফল হলো:

\( a = -\alpha^2 \)

এবং, মূলের গুণফল একই সাথে মূলের গুণফলের জন্য হবে:

তাই, মূলের গুণফল \( a \) নির্ণয় করতে, আমাদের মূলের মানের উপর ভিত্তি করে দেখা যায় যে, মূলদ্বয় পরস্পর উল্টো হলে, মূলের গুণফল হলো:

\( a = -\alpha^2 \)

আসুন, \( a \) এর মান নির্ণয় করি।

যেহেতু মূলগুলো উল্টো, এবং মূলের যোগফল 0, তাহলে মূলের গুণফল নির্ণয় করতে পারি:

\( a = -\alpha^2 \)

অতএব, মূলগুলো পরস্পর উল্টো হলে, মূলের গুণফল \( a \) এর মান হবে:

\( a = 1 \)

তাই, উত্তর হল: 1.