প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত: \(\cot \theta = \frac{3}{4}\) এবং \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\)।
আমরা জানি যেঃ
- \(\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\)
- এবং \(\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}\)
ধাপ ১: \(\sin \theta\) এবং \(\cos \theta\) নির্ণয়:
ধরা যাক, \(\cot \theta = \frac{3}{4}\)। তাই:
\[ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{3}{4} \]এখানে, ধরুন, \(\sin \theta = y\) এবং \(\cos \theta = x\)। তাহলে:
\[ \frac{x}{y} = \frac{3}{4} \Rightarrow x = \frac{3}{4} y \]ধাপ ২: পিথাগোরাসের সূত্র ব্যবহার:
চিত্রে, \(\sin \theta = y\), \(\cos \theta = x\), এবং:
\[ x^2 + y^2 = 1 \] \[ \left(\frac{3}{4} y\right)^2 + y^2 = 1 \] \[ \frac{9}{16} y^2 + y^2 = 1 \] \[ \left(\frac{9}{16} + 1\right) y^2 = 1 \] \[ \left(\frac{9}{16} + \frac{16}{16}\right) y^2 = 1 \] \[ \frac{25}{16} y^2 = 1 \] \[ y^2 = \frac{16}{25} \] \[ y = \pm \frac{4}{5} \]ধাপ ৩: সঠিক চিহ্ন নির্ণয়:
> যেহেতু \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\), অর্থাৎ ত্রিজ্যাংকোণ তৃতীয় কোণে যেখানে \(\sin \theta < 0\) এবং \(\cos \theta < 0\)। অতএব, \(y = -\frac{4}{5}\) এবং \(x = \frac{3}{4} y = \frac{3}{4} \times -\frac{4}{5} = -\frac{3}{5}\)।ধাপ ৪: \(\sec \theta\) নির্ণয়:
\[ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{1}{x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \]উত্তর:
\(\boxed{-\frac{5}{3}}\)