Another Explanation (5): প্রশ্নে দিয়া হয়েছে:
\[
\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1
\]
এটি একটি হাইপারবলার সমীকরণ। এখন, প্রশ্নে উল্লেখিত তিনটি বিষয়ে বিশ্লেষণ করব:
---
### 1. অধিবৃত্ত (অভ্যন্তরীণ বৃত্ত)
একটি হাইপারবোলার সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর দুটি শাখা থাকে। সাধারণত, এর ধ্রুবক \((a^2, b^2)\) দ্বারা নির্ণীত হয়:
\[
a^2 = 4,\quad b^2 = 5
\]
অধিবৃত্ত বা অভ্যন্তরীণ বৃত্তের জন্য, হাইপারবোলারটির দুই শাখার মধ্যে অন্তর্গত বা অভ্যন্তরীণ বৃত্তের জন্য, এর কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব \(c\) এর সাথে সম্পর্কিত:
\[
c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 5 = 9
\]
অর্থাৎ,
\[
c = 3
\]
অধিবৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r\) এর জন্য, এটি কেন্দ্র থেকে হাইপারবোলারটির শাখার সবচেয়ে কাছাকাছি বিন্দুর দূরত্ব, যা নির্ণয় করতে হবে। সাধারণত, অধিবৃত্তের কেন্দ্র থেকে শাখার সর্বনিম্ন দূরত্ব হিসেব করে:
\[
r = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}
\]
তবে, এই বিষয়ে বিস্তারিত বিবেচনা করে দেখা যায় যে, একটি হাইপারবোলার এর জন্য অধিবৃত্তের অস্তিত্ব থাকলে, এর কেন্দ্র থেকে শাখার দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। এই ক্ষেত্রে, হাইপারবোলারটির কেন্দ্রে (0,0), এর শাখাগুলির জন্য সর্বনিম্ন দূরত্ব:
\[
\text{Minimum distance} = c - a = 3 - 2 = 1
\]
অর্থাৎ, এই হাইপারবোলারটির জন্য অধিবৃত্তের সমীকরণ হবে:
\[
x^2 + y^2 = \text{কোন নির্দিষ্ট রেডিয়াসের বৃত্ত}
\]
কিন্তু, সাধারণভাবে, হাইপারবোলারটির একটি অধিবৃত্ত থাকলে এর সমীকরণ হবে:
\[
x^2 + y^2 = r^2
\]
এবং এর জন্য, এই \(r\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। তবে, সাধারণভাবে, এই সমীকরণে বলা হয়েছে "একটি অধিবৃত্ত" যা সম্ভব নয়, কারণ হাইপারবোলার এর জন্য সাধারণত একটি অভ্যন্তরীণ বৃত্তের ধারণা প্রযোজ্য নয়।
**সুতরাং, এই প্রথম ধারা ভুল।**
---
### 2. উৎকেন্দ্রিকতা \(e = \frac{3}{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা (eccentricity) নির্ণয়:
\[
e = \frac{c}{a}
\]
এখানে,
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = 3
\]
এবং,
\[
a = 2
\]
অতএব,
\[
e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2}
\]
যা প্রশ্নে দেওয়া অনুযায়ী, **সঠিক**।
---
### 3. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \(\frac{8}{\sqrt{5}}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো:
\[
2b^2 / a
\]
অথবা, হাইপারবোলারটির দিক অনুযায়ী, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:
\[
2 \times \frac{b^2}{a}
\]
এখানে,
\[
b^2 = 5,\quad a=2
\]
সুতরাং,
\[
\text{উপকেন্দ্রিক লম্ব} = 2 \times \frac{5}{2} = 5
\]
প্রশ্নে বলা হয়েছে, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \(\frac{8}{\sqrt{5}}\) যা প্রমাণ করে এটি **অসঙ্গত**।
অতএব, এই ধারা ভুল।
---
### **সারসংক্ষেপ:**
- ধারা (i): **অধিবৃত্তের** বিষয়ে ভুল।
- ধারা (ii): **উৎকেন্দ্রিকতা** সত্য।
- ধারা (iii): **উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য** ভুল।
সুতরাং, উত্তর: **"ii only"**
তবে প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে "i ও ii"। এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র ধারা (ii) সঠিক, তাই সঠিক উত্তর হবে:
### **উত্তর: "ii"**
---
### সম্পূর্ণ সমাধান (HTML & LaTeX):
```html
সমাধান:
প্রথমে সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে:
\[ \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{5} = 1 \]
এটি একটি হাইপারবোলার সমীকরণ। এখন প্রতিটি ধারা বিশ্লেষণ করবঃ
i. একটি অধিবৃত্ত
হাইপারবোলারটির কেন্দ্র থেকে শাখার সর্বনিম্ন দূরত্ব নির্ণয় করি:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4 + 5} = 3 \]
অর্থাৎ, কেন্দ্র থেকে শাখার দূরত্ব সর্বনিম্ন \( c - a = 3 - 2 = 1 \)।
অধিবৃত্তের জন্য এর সমীকরণ হতে হবে \( x^2 + y^2 = r^2 \)। তবে, হাইপারবোলারটির জন্য সাধারণত একটি অভ্যন্তরীণ বৃত্তের ধারণা প্রযোজ্য নয়। তাই, এই ধারা ভুল।
ii. উৎকেন্দ্রিকতা \( e = \frac{3}{2} \)
উৎকেন্দ্রিকতা নির্ণয়ঃ
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{3}{2} \]
যা প্রশ্নে দেওয়া অনুযায়ী, সঠিক।
iii. উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = \(\frac{8}{\sqrt{5}}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সাধারণ সূত্র হলো:
\[ 2 \times \frac{b^2}{a} = 2 \times \frac{5}{2} = 5 \]
প্রশ্নে দেওয়া দৈর্ঘ্য \(\frac{8}{\sqrt{5}}\) যা এই সূত্রের সাথে সামঞ্জস্য নয়। অতএব, এই ধারা ভুল।
উপসংহার:
মাত্র একটি ধারা সত্য, তা হলো ধারা (ii)। অতএব, উত্তর হলো: "ii"
```
