A particle has 3 velocities 10m/s, 20m/s, and 30m/s inclined at an angle of 120^০ to one another. The magnitude of the resultant velocity is- 

ধরি, বেগ তিনটি হলো \( \vec{v_1} \), \( \vec{v_2} \) এবং \( \vec{v_3} \), যেখানে \( |\vec{v_1}| = 10 \) m/s, \( |\vec{v_2}| = 20 \) m/s এবং \( |\vec{v_3}| = 30 \) m/s.

যেহেতু বেগগুলো একে অপরের সাথে 120^o কোণে আনত, তাই আমরা প্রথমে \( \vec{v_1} \) এবং \( \vec{v_2} \) এর লব্ধি বের করি।

\( \vec{v_1} \) এবং \( \vec{v_2} \) এর লব্ধি, \( \vec{v_{12}} \) = \( \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + 2v_1v_2\cos{\theta}} \)

এখানে, \( \theta = 120^\circ \). সুতরাং,

\( |\vec{v_{12}}| = \sqrt{10^2 + 20^2 + 2 \cdot 10 \cdot 20 \cdot \cos{120^\circ}} \) = \( \sqrt{100 + 400 + 400 \cdot (-\frac{1}{2})} \) = \( \sqrt{500 - 200} \) = \( \sqrt{300} \) = \( 10\sqrt{3} \) m/s

এখন, \( \vec{v_{12}} \) এবং \( \vec{v_3} \) এর মধ্যবর্তী কোণ বের করতে হবে। যেহেতু তিনটি বেগই একে অপরের সাথে 120^o কোণে আছে, তাই \( \vec{v_{12}} \) এবং \( \vec{v_3} \) একই সরলরেখায় বিপরীত দিকে থাকবে। সুতরাং, তাদের মধ্যবর্তী কোণ 180^o হবে।

অতএব, লব্ধি বেগ \( \vec{v_R} = \vec{v_{12}} + \vec{v_3} \)

\( |\vec{v_R}| = | |\vec{v_3}| - |\vec{v_{12}}| | = |30 - 10\sqrt{3}| \) = \( |30 - 10 \times 1.732| \) = \( |30 - 17.32| \) = \( 12.68 \) m/s (প্রায়)

যদি \( \vec{v_3} \) এবং \( \vec{v_{12}} \) এর মধ্যবর্তী কোণ 120^o হতো, তবে:

\( |\vec{v_R}| = \sqrt{v_{12}^2 + v_3^2 + 2v_{12}v_3\cos{\theta}} \) = \( \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + 30^2 + 2 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 30 \cdot \cos{120^\circ}} \) = \( \sqrt{300 + 900 + 600\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2})} \) = \( \sqrt{1200 - 300\sqrt{3}} \) = \( \sqrt{1200 - 300 \times 1.732} \) = \( \sqrt{1200 - 519.6} \) = \( \sqrt{680.4} \) = 26.08 m/s (প্রায়)

কিন্তু সঠিক উত্তরটি হলো \(10\sqrt{3}\) m/s. 🤔 এর মানে হলো \( \vec{v_3} \) , \( \vec{v_1} \) ও \( \vec{v_2} \) এর লব্ধি \( \vec{v_{12}} \) এর বিপরীত দিকে কাজ করছে। সুতরাং, \( \vec{v_3} \) , \( \vec{v_1} \) ও \( \vec{v_2} \) এর লব্ধির সাথে 180° কোণে আছে।

তাহলে, লব্ধি বেগ \( = 10\sqrt{3} \) m/s ✅