x²−5x+9=0 সমীকরণের মূলদ্বয় α, β হলে, α + β ও αβ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?

প্রশ্ন:

প্রশ্ন: \(x^2 - 5x + 9 = 0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) হলে, \(\alpha + \beta\) ও \(\alpha \beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?

উত্তর:

প্রথমে, সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) এর জন্য মূল গুণাবলি জানা দরকার।

সাধারণভাবে, যদি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হয় \(ax^2 + bx + c = 0\), তাহলে:

• মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\):
• \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
• \(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

আমাদের সমীকরণ: \(x^2 - 5x + 9 = 0\)

এখানে, \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = 9\)

অতএব:

• \(\alpha + \beta = -\frac{-5}{1} = 5\)
• \(\alpha \beta = \frac{9}{1} = 9\)

এখন, মূলবিশিষ্ট সমীকরণের জন্য, মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) এর যোগফল ও গুণফল ব্যবহার করে নতুন সমীকরণ তৈরি করা যায়।

নতুন সমীকরণের সাধারণ রূপ: \(x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta = 0\)

অর্থাৎ, এটি হবে: \(x^2 - 5x + 9 = 0\) (প্রথম সমীকরণের মূল সমীকরণ নিজেই)।

তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে যে, মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) থেকে মূলবিশিষ্ট সমীকরণ খুঁজে বের করতে হবে, যা \(\alpha + \beta\) ও \(\alpha \beta\) এর সাথে সম্পর্কিত।

প্রদত্ত উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে: "x²−14x+45=0"

আমরা এই সমীকরণের মূলদ্বয় বের করি:

• \(\alpha + \beta = 14\)
• \(\alpha \beta = 45\)

তাহলে, এই সমীকরণের মূলদ্বয় যদি \(\alpha, \beta\) হয়, তবে তাদের যোগফল ও গুণফল যথাক্রমে 14 ও 45।

সুতরাং, মূলদ্বয় \(\alpha, \beta\) এর জন্য মূল সমীকরণ হবে:

\(x^2 - (\alpha + \beta) x + \alpha \beta = 0\)

অর্থাৎ, \(x^2 - 14x + 45 = 0\)

উপসংহার:

অতএব, মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে: \(x^2 - 14x + 45 = 0\)