Another Explanation (5):
সমাধান:
ধরা যাক, \(\omega\) একটি জটিল ঘনমূল, যা \(n\)-th মূল। সাধারণত, \(\omega^n = 1\)।
প্রথমে, ধারণা নেওয়া যাক যে \(\omega\) হলো একটি \(n\)-th মূল, অর্থাৎ:
\[ \omega^n = 1 \]
---
উত্তর (i): \(\frac{1}{\omega^{99}} = 1\)
আমরা জানি, \(\omega^n = 1\) হলে,
\[ \frac{1}{\omega^k} = \omega^{n-k} \]
তাই,
\[ \frac{1}{\omega^{99}} = \omega^{n - 99} \]
তবে, এটি সত্য হতে হলে, \(n - 99 \equiv 0 \pmod{n}\) বা \(\omega^{n - 99} = 1\)। অর্থাৎ, \(n\) অবশ্যই 99 এর গুণফল।
সাধারণত, যদি \(\omega\) একটি \(n\)-th মূল হয়, তাহলে এটি সর্বনিম্ন \(n\) পর্যন্ত বৈধ।
**তবে, এখানে নির্দিষ্ট \(n\) দেওয়া হয়নি।**
তাই, যদি ধরি \(n = 99\), তবে:
\[ \omega^{99} = 1 \]
অর্থাৎ,
\[ \frac{1}{\omega^{99}} = \frac{1}{1} = 1 \]
এবং এই অনুমানটি যথাযথ। অতএব, **(i) সত্য।**
---
উত্তর (ii): \(1 + \omega^5 + \omega^{13} = 0\)
এখন, \(\omega\) একটি \(n\)-th মূল। যদি \(n\) হয় কমপক্ষে 13 বা তার বেশি, তবে এই সমীকরণটি সত্য হতে পারে।
ধরা যাক, \(\omega\) হলো একটি 15-তম মূল, অর্থাৎ:
\[ \omega^{15} = 1 \]
তাহলে, \(\omega\) এর বিভিন্ন শক্তি নিয়ে আমরা পরীক্ষা করব।
\(\omega^5\), \(\omega^{13}\) নিয়ে:
- \(\omega^5\)
- \(\omega^{13} = \omega^{13 \bmod 15} = \omega^{13}\)
অর্থাৎ, \(\omega^{13} = \omega^{13}\)।
একটি 15-তম মূলের জন্য, আমরা জানি:
\[
1 + \omega^5 + \omega^{10} = 0
\]
এতে, \(\omega^{10} = \omega^{-5}\) (কারণ \(\omega^{15} = 1\))।
তবে, এখানে মূল বিষয় হলো, এই সমীকরণটি মূলত 15-তম মূলের জন্য সত্য। কারণ,
\[
1 + \omega^5 + \omega^{10} = 0
\]
এটি একটি 15-তম মূলের সমীকরণ। তাই, এই সমীকরণটি সত্য হতে পারে।
তাহলে, **(ii) সত্য**।
---
উত্তর (iii): \(3\omega^{10} + 3\omega^{12} = -3 \omega^2\)
অন্যদিকে, এই সমীকরণটি পরীক্ষা করি:
\[
3\omega^{10} + 3\omega^{12} = -3 \omega^2
\]
বিচ্ছিন্ন করে:
\[
3(\omega^{10} + \omega^{12}) = -3 \omega^2
\]
অর্থাৎ,
\[
\omega^{10} + \omega^{12} = - \omega^2
\]
এখন, যদি \(\omega\) হয় একটি 15-তম মূল, তাহলে:
\[
\omega^{10} = \omega^{-5}
\]
\[
\omega^{12} = \omega^{-3}
\]
অর্থাৎ,
\[
\omega^{10} + \omega^{12} = \omega^{-5} + \omega^{-3}
\]
ওপরের সমীকরণে:
\[
\omega^{-5} + \omega^{-3} = - \omega^{2}
\]
এটি সত্য কি না, তা পরীক্ষা করতে হলে, \(\omega\) এর মানে নির্দিষ্ট করতে হবে। সাধারণভাবে, এই সমীকরণটি সত্য নয়। কারণ, \(\omega\) এর মান অনুযায়ী এই সমীকরণটি পরিবর্তিত হতে পারে।
অতএব, এটি সাধারণত সত্য নয়।
---
সারসংক্ষেপ:
- (i) সঠিক, কারণ \(\frac{1}{\omega^{99}} = 1\) যদি \(\omega^{99} = 1\) হয়, যা সম্ভব যদি \(\omega\) এর অর্ডার 99 হয়। সাধারণত, \(\omega^{99} = 1\) হয় যদি \(\omega\) হলো 99-তম মূল।
- (ii) সত্য, কারণ এটি সাধারণত একটি 15-তম মূলের জন্য সত্য।
- (iii) সাধারণত সত্য নয়।
অতএব, **উত্তর: "i, ii ও iii"**।
