1 এর জটিল ঘনমূল a ও b হলে-

1. a² = b 
2. a² + b² = i²
3. a² + b² = i⁴

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্নের বিশ্লেষণ:

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, \(a\) ও \(b\) দুটি জটিল সংখ্যা এবং তারা জটিল ঘনমূল (complex square root) হিসেবে দেওয়া হয়েছে। অর্থাৎ,

\(a^2 = p\) এবং \(b^2 = q\), যেখানে \(p\) ও \(q\) হলো কিছু নির্দিষ্ট জটিল সংখ্যা।

প্রথম শর্ত: \(a^2 = b\)

এখানে, \(a\) এর জটিল ঘনমূল \(b\)। অর্থাৎ, \(a^2 = b\)।

যেহেতু \(a\) ও \(b\) দুজনেই জটিল সংখ্যা, তাহলে এই শর্তটি সত্য হতে পারে, যদি আমরা \(b\) কে \(a\) এর চতুর্থাংশ বা অন্য কিছু হিসেবে ধরি না।

তবে, এটি সরাসরি সত্য বা অসত্য বলা কঠিন, তবে এটি একটি সাধারণ সম্পর্ক।

দ্বিতীয় শর্ত: \(a^2 + b^2 = i^2\)

এখানে, \(i\) হলো জটিল একক (imaginary unit), যেখানে \(i^2 = -1\)।

তাহলে, সমীকরণটি হবে:

\[a^2 + b^2 = -1\]

যেহেতু \(a\) ও \(b\) জটিল সংখ্যা, তাই তাদের স্কোয়ারের যোগফল \(-1\) হতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি ধরি \(a = i\) এবং \(b = 0\), তাহলে:

\[a^2 + b^2 = i^2 + 0 = -1 + 0 = -1\]

অর্থাৎ, এটি সম্ভব। তাই, এই শর্তটি সত্য হতে পারে।

তৃতীয় শর্ত: \(a^2 + b^2 = i^4\)

এখানে, \(i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1\)।

অর্থাৎ, সমীকরণটি হবে:

\[a^2 + b^2 = 1\]

এটি সম্ভব, যেমন ধরুন \(a = 1\) ও \(b = 0\), তাহলে:

\[a^2 + b^2 = 1 + 0 = 1\]

অথবা অন্য কোন জটিল সংখ্যাও হতে পারে।

সুতরাং, এই শর্তও সম্ভব।

সারাংশ:

প্রতিটি শর্তই সম্ভব এবং সত্য হতে পারে, যদি উপযুক্ত জটিল সংখ্যা নির্বাচন করা হয়। তাই, উপরের তিনটি শর্তই সঠিক বলে বিবেচিত হতে পারে।

উত্তর:

i, ii ও iii